Нахождение первых коэффициентов Берга

Пусть при линейно-ломаной аппроксимации (рис. 4.12 и 4.13) ток НЭ

задан выражением

z(w) =

S(U0 +Um cosco0Z-t7H), если u>UH;

  • 0, если
  • (4.3.40)

Преобразуем выражение (4.3.40) к виду

i(u,t) = SUm

, ^0-^н

COS co0Z + —----

SUm (cos (D0Z - cos 0);

z(zz, Z) =

SUm(cos(p0t-cosQ), -OoZ<0;

  • 0, coz<-0 и 0>0.
  • (4.3.41)

Найдем /0,1Х, /2 Для тока (4.3.41), используя формулы (4.3.29)-(4.3.31)

  • 0 SU®
  • ---— [(cos СО0/ - COS 0) (7(С00/) ~
  • 71 о

Io = — J SUm (cos co0z - cos 0) (7(co0/) = 2л _0

6 su

sin co0Z--— cos co0Z = SUt

  • 0 71
  • 71

Jin0-0^^^); (4.3.42) о 71

ao (0) = Yo(0) = sin0-0cos0 1-COS0 7t(l- COS0)

(4.3.43)

Исследуем yo(0) и ao(0) на экстремумы

= — (cos 0 - cos 0 + 0 sin 0) = 0, следовательно, <70 Ti

Уо(0) = 0sin0 = О, откуда два корня, при которых уо(0) = 0: 0j = 0° и 02 =180°. Следовательно, уо(0) и ао(0) не имеют экстремумов и монотонно растут в интервале углов [0,180°]. График уо(0) приведен на рис. 4.15

Гл(е)

  • 1}=а} = г (CQS р _ CQS g) cos р^р -
  • 71 Л
  • 71

“0 0

Jcos2 0<7p-cos JcosfWp =

_о о

  • 71
  • 0 1 19
  • ---cos 0 sin 0 + — Jcos 2рб/р =
  • 2 2 20
  • 71
  • 0 sin 20 .
  • — 4---COS 0 SIH 0 =
  • 2 4
  • 0 sin0cos0 . _
  • 71
  • — +--sin 0 cos 0
  • 2 2

Ж,

п

  • 0 sin 0 cos 0
  • 2 2

j-ginecose= e). (4 3 44)

Л

  • 0-sin0cos0 0-sin0cos0
  • (4.3.45)

Yi (6) =----------; «i (6) = —------—

71 7l(l- COS0)

Исследуем у^0) и 0^(0) на экстремумы

(в) = y{(0) = — (1 - cos 0 cos 0 + sin 0 sin 0) = —(1 - cos2 0 + sin2 0) = 0 (70 71 71v 7

или 2sin2 0 = 0 => sin2 0 = 0 и 0[=O, 02=18O.

Функция Yi(O) не имеет экстремумов и растет монотонно в интервале углов [0; 180°]; график у^О) приведен на рис. 4.15.

±М=а;(е)=

dQ IV

  • 2 71
  • (l-cosOcos0 + sin0sin0)(l-cos0) sin 0(0-sin 0 cos 0)
  • (l-cos0)2 (l-cos0)2

После преобразования получим

0^(0) = 4 sin 0-sin 20 + 0 = 0. (4.3.46)

Численное решение трансцендентного уравнения (4.3.46) дает корень 0тах = 127° или 0тах =2,216 рад;

х 2,216-0,289 1,927 1 ___ ОС т ( Qmax ) =---------------=------= 1,533.

1 max/ 7^(1-0,601) 71-0,4

Функция 04(0) имеет максимум сц (0тах) = 1,533 при 0тах =127

I2 = а2 f(cosp-cos0)cos2pz7p =

71 о

= 2SUm f(cospcos2p-cos0cos2p)(7p =

  • 71 о
  • 2SU cos Osin 20 2SUmQ(

=--—----------+----— I cos 2p cos p<7p;

л 2 n 0

1 9 1 sin 30

cos2pcosp = —(cosP + cos3P) и jcos2pcospz7p =—sin 0H--

r _2SUm

71

sin 20 cos 0 sin0 sin 30 A

2 2 2-3 J

Преобразуем скобку в выражении для 12

sin0 sin20cos0 sin0 2sin0cos 0 sinOz, _

---=---------------= ——14— 2 cos“ 0

sin0 1 / ч

  • —sin 0 cos 20;
  • 2
  • ---- 1-2—(1 +cos)
  • 2 2V 7

sin 30 _ sin(20 + 0) _ sin 20 cos 0 cos 20 sin 0

  • 2-3
  • 2-3
  • 2-3
  • 2-3

T _2SUm( sin 20 cos 0

cos 20 sin 0 |_

cos 20 sin 0 ] _

  • ——----------
  • 2 7Г I 2-3

2-3

2 J

sin 20 cos 0 cos20sin0-3cos20sin0

71

Гз

2-3

OTT 2(sin20cos0-2cos20sin0) OTr

- ~--------- bUmTziVy,

Ti-2-З

2 sin 20 cos 0-2 cos 020 sin 0

Y2(0) =--

а2(0)

П(0) к>2

71

2-3

9

_ 2(sin 20 cos 0 - 2 cos 20 sin 0)

tt-2-3(1-cos0)

9

_2

sin kQ cos 0 - к cos kQ sin 0 _

71

*(fc2-l)

J_ kn

sin(? -1)0 sin(? +1)0 k- k+1

  • (4.3.47)
  • (4.3.48)

Исследуем у2(0) и аг(^) на экстремумы

у2 (®) ~ — (2 cos 20 cos 0 - sin 20 sin 0 + 4 sin 20 sin 0 - 2 cos 20 cos 0) = 0

Зти

=> 3sin20sin0 = 0; 0,=O; 20?=18O и 07тпя =90°;

Y2 (02 max) = Y2(90°) = 0,212.

График у2(0) приведен на рис. 4.15. Таким образом, для выделения в выходном токе z(Z) второй гармоники и подчеркивании ее угол отсечки нужно брать равным 0 = 90°

а2 (0) =-----------х

2 Зтг(1 —cos0)

х [(2 cos 20 cos 0 - sin 20 sin 0 + 4 sin 20 sin 0 - 2 cos 20 cos 0)(1 - cos 0) -

  • - sin 0(sin 20 cos 0-2 cos 20 sin 0)] = 0. Отсюда следует
  • 3 sin 20 sin 0(1 - cos 0) - 112-25 _ 2 cos 20sin2 0 = 0.

Следовательно, корень уравнения 0max = 60° = тг/З

a2(0max) = oc2 (60°) = 0,276.

Нелинейные искажения на выходе НЭ

При нелинейном преобразовании гармонического сигнала в выходном токе z(/) появляются высшие гармоники тока с амплитудами 12,которые создают на сопротивлении нагрузки падения напряжений Uk на этих гармониках. Таким образом, в выходном сигнале появляются нелинейные искажения, которые можно оценить с помощью коэффициента нелинейных искажений ИЛ

кт = = . (4.3.49)

V А А

Для аппроксимации с квадратичным членом Кт равен

2

= (4-3.50)

2 atUm 2 at

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >