Свойства отношения включения

Отметим основные свойства отношения включения для множеств.

Каждое множество А является подмножеством самого себя:

А сЛ.

Это свойство называют рефлексивностью.

Если А — подмножество множества В, а В — подмножество множества С, то А — подмножество множества С:

АсВиВсС=>АсС.

Такое свойство называют транзитивностью.

Если каждое из двух множеств является подмножеством другого, то эти множества совпадают:

Ас,ВиВс,А^>А = В.

АВС

Транзитивность включения

Это свойство называется антисимметричностью.

Подведем итоги.

Множество А является подмножеством множества В, если предикат, задающий множество В, является следствием предиката, задающего А.

Предложение со словами «для всех...» и «если, то...» — это предложение о включении одного множества в другое.

Отношение включения для множеств рефлексивно, транзитивно и антисимметрично.

Теоретико-множественные операции

В зависимости от исходной задачи все рассматриваемые множества обычно включены в некоторое самое большое множество.

Такое наибольшее множество принято называть универсальным, или универсумом.

U

U — универсальное множество

Обычно универсум обозначается буквой U, а на диаграммах Эйлера — Венна изображается в виде прямоугольника.

Например, в школьном курсе математики для множеств решений уравнений или неравенств с одним неизвестным (или систем таких уравнений и неравенств, или их совокупностей) универсальным является множество R действительных чисел.

Для плоских геометрических фигур универсум — это плоскость, а для произвольных трехмерных фигур — все трехмерное пространство.

В других задачах универсум может быть и побольше, но всегда имеет разумные (не приводящие к противоречию) пределы.

Неявно понятие универсального множества присутствовало, по существу, и ранее: описание множества свойством его элементов по умолчанию предполагает присутствие некоторого универсального множества.

Конечно, самым универсальным было бы множество всех множеств. Однако далее будет показано, что понятие множества всех множеств противоречиво, такого множества не существует. Несуществующее множество, разумеется, нельзя взять в качестве универсального. Образно говоря, всех множеств слишком много для того, чтобы быть множеством. Когда рассматривается некоторая совокупность множеств (из опасения, что эта совокупность не является множеством), принято говорить о классах некоторых множеств.

Правда, в некоторых случаях понятие множества, состоящего из некоторых (вполне определенных) множеств, не приводит ни к каким противоречиям.

1

U — первая буква латинского universal — «всеобщий».

Если М — произвольное множество, то символом Р(М) обозначают множество подмножеств множества М:

Р(М)= {х | xczM}.

Множество Р(М) называется булеанолі множества М.

При обсуждении свойств множеств обычно и подразумевается, что все рассматриваемые множества находятся в некотором универсальном множестве U, т. е. речь всегда идет о булеане Р(Ц).

Пусть М — произвольное множество. Говорят, что на М определена некоторая двухместная операция, если каждой паре элементов а. b из М ставится в соответствие некоторый элемент из этого же множества. Если каждому элементу из М ставится в соответствие некоторый элемент из М. то операция одноместная.

Например, сложение и умножение натуральных чисел — двухместные операции. Взятие противоположного для целого числа или взятие обратного для ненулевого рационального это одноместные операции.

Определим в множестве подмножеств универсального множества две двухместные операции: пересечение и объединение и одну одноместную — дополнение.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >