Язык сложения и язык умножения

Чаще всего в математических системах встречаются две операции: сложение (+) и умножение (•).

Алгебра <А; +> называется аддитивно записанной, а <А; ?> — записанной мультипликативно. Между терминами в этих двух языках возникает естественная связь, точно такая же, как и для живых языков. Связь основана на том, что описываемый объект и его свойства не зависят от языка.

Аддитивная Мультипликативная запись запись

сложение


умножение


сумма слагаемые нуль противоположный

произведение сомножители единица обратный


Аддитивно-мультипликативный словарь

На рисунке приведен начальный фрагмент аддитивно-мультипликативного словаря. Независимость от расстановки скобок в произведении из трех элементов переносится на любые произведения: если в алгебре выполняется закон ассоциативности, то там выполняется и обобщенный закон ассоциативности — произведение любого числа элементов не зависит от расстановки скобок. Обобщенный закон ассоциативности означает, в частности, что произведение одинаковых множителей,

а ? а ... • а , п

тоже не зависит от расстановки скобок, и поэтому можно писать кратко:

а ? а ... • а = ап,

п

называя элемент ап и-й степенью элемента а.

Аддитивная

запись

Мультипликативная запись

па

- ап

п

п

Тл

- гь

1-і

1=1

кратное

— степень

вычитание

— деление

разность

— частное

уменьшаемое

— делимое

вычитываемое

— делитель

Продолжение аддитивно-мультипликативного словаря

Ассоциативный закон позволяет произведение а, • «2 ? ••• • записывать сокращенно:

«Г «2 ? =1 !«;•

Все эти обозначения и договоренности легко переводятся на аддитивный язык. Например, степени в мультипликативной записи соответствует кратное на аддитивном языке, вычитанию соответствует деление и т. д.

Пополним наш аддитивно-мультипликативный словарь.

Если на множестве М заданы две бинарные операции, но между ними нет никакой связи, то перед нами не одна алгебра с двумя операциями, а две алгебры с одной операцией каждая, заданные на одном и том же множестве. Когда говорят об алгебре с двумя операциями, то имеют в виду, что между операциями есть какая-то связь.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >