Некоторые сведения из теории упругости. Особенности напряженного состояния твердого тела

В теории упругости материал твердого тела (таким телом может быть грунтовая среда) представляется идеально упругим. Размеры и форма такого тела полностью восстанавливаются после устранения причин, вызвавших деформацию, а между деформациями и напряжениями существует линейная зависимость (закон Гука) [7].

Деформацией твердого тела называется изменение его размеров и объема, сопровождающееся обычно изменением и его формы. Деформация вызывается внешними силовыми воздействиями или изменением температуры. При деформации происходит смещение частиц тела. Этому препятствуют силы взаимодействия между ними, вследствие чего в деформированном теле возникают внутренние упругие силы - напряжения.

В строгом смысле слова напряжение - это интенсивность внутренних усилий, то есть усилие, приходящееся на единицу площади сечения тела. Напряжение называется нормальным, если упругая сила нормальна к плоскости сечения, и касательным, если она касательна к этой плоскости. Указанные напряжения часто обозначают о и т соответственно.

Рассмотрение зависимости между напряжениями и деформациями ниже вначале проводится для важных частных случаев односторонних деформаций растяжения (сжатия) и сдвига, а также случая всестороннего сжатия тела.

Одностороннее или продольное растяжение (сжатие) состоит в увеличении (уменьшении) длины тела под действием растягивающей (сжимающей) силы F. Мерой деформации является относительное удлинение (сжатие) ? = Д1/1, где 1 - первоначальная длина тела, Д1 - изменение длины при нагрузке F.

По закону Гука где Е - модуль Юнга; S - площадь поперечного сечения тела.

При Д/ =1 модуль Юнга Е = F/5 = а, то есть численно равен напряжению, возникающему в теле при увеличении его длины в два раза.

Известно, что разрушение тела наступает при значительно меньших напряжениях. Зависимость ? от о для случая продольного растяжения тела представлена на рис. 2.

На рис. 2 обозначено: оупр - предел упругости, то есть напряжение, ниже которого справедлив закон Гука; егТек - предел текучести, то есть напряжение, при котором появляется текучесть - увеличение деформации без увеличения деформирующей силы; опр - предел прочности - напряжение, при котором образуется местное сужение (шейка) и происходит разрушение тела (увеличение деформации даже при уменьшении деформирующей силы).

Зависимость напряжения от относительной продольной деформации

Рис. 2. Зависимость напряжения от относительной продольной деформации

Деформация сдвига

Рис. 3. Деформация сдвига

Относительное продольное растяжение (сжатие) тела сопровождается его относительным поперечным сужением (расширением) , где d - поперечный d размер тела.

Величина, равная отношению относительного поперечного (расширения) к относительному продольному удлинению (сжатию),

сужения

(1-2)

твердого

d М v = —: —, d I

называется коэффициентом Пуассона. Обычно v от 0 до 1.

Сдвигом называется деформация, при которой все плоские слои тела, параллельные некоторой плоскости, смещаются параллельно друг другу. При сдвиге объем тела не меняется, рис. 3. Сдвиг происходит под действием силы F, приложенной касательно к верхней грани; нижняя грань закреплена неподвижно. Мерой деформации является угол сдвига у, выраженный в радианах.

По закону Гука относительный сдвиг пропорционален касательному напряжению

т = — = y-G, (1.3)

?

где G - модуль сдвига.

Модуль сдвига численно равен напряжению, при котором сдвиг у = 1.

Всестороннее сжатие тела под действием равномерно распределенного по его поверхности нормального напряжения о приводит к уменьшению объема тела V на величину ДУ. Значение А V вычисляется по формуле

ДУ= —-Vo, (1.4)

ТС

где К - модуль объемной упругости.

Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модули сдвига и объемной упругости связаны между собой соотношениями

Е Е

G=T^yK=^TVy (L5)

В общем случае под действием внешних сил в теле могут иметь место одновременно и деформации растяжения (сжатия) и сдвига; при этом напряженное состояние в рассматриваемой точке тела определяется более сложными зависимостями, чем соотношения (1.1) - (1.5), а именно тензором напряжений.

Возникновение тензорного исчисления было подготовлено в XIX веке исследованиями в области дифференциальной геометрии: геометрии поверхностей (К. Гаусс) и геометрии многомерного метрического пространства (Б. Риман). Современную форму тензорному исчислению придал итальянский математик Г. Риччи-Кубастро. Идеи Риччи-Кубастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915-1916 гг.) общей теории относительности А. Эйнштейна, математическая часть которой основана на тензорном исчислении. Понятие о тензоре напряжений можно получить, следуя рекомендациям [7].

Пусть требуется определить напряжение на наклонной площадке (по отношению к координатной системе xyz), проходящей через точку М. Для определения искомого напряжения выделим около этой точки элементарный тетраэдр МАВС (рис. 4). Грани МАВ, МВС, МАС тетраэдра совпадают с координатными плоскостями хМу, yMz, xMz. Наклон грани АВС, параллельной заданной наклонной площадке, определяется величинами направляющих косинусов нормали v к этой грани. Обозначим косинусы углов между координатными осями х, у, z и направлением нормали v соответственно через /, т, п:

cos (v,x)=Z, cos (v,y)=m, cos (y,z)=n.

X

Напряжения на гранях элементарного тетраэдра

Рис. 4. Напряжения на гранях элементарного тетраэдра

Очевидно, при стягивании элементарного тетраэдра в точку грань АВС пройдет через точку М и напряжение на ней будут соответствовать напряжениям на заданной площадке.

В общем случае на тетраэдр могут действовать как объемные силы (например, сила инерции, сила тяжести), так и поверхностные - напряжения на его гранях.

Пусть известны составляющие напряжений, действующих по граням, совпадающим с координатными плоскостями, но напряжение pv, действующее на наклонной грани АВС, не известно (напряжение pv - полное напряжение).

Напряжение pv можно разложить на составляющие рх, рг, рг, параллельные координатным осям. Обозначив площадь грани АВС через dF, нетрудно показать, что площади граней МВ С, МАС и МАВ будут соответственно равны IdF, mdF, ndF.

Так как тетраэдр АВС - это бесконечно малый тетраэдр, при составлении его равновесия объемными силами как бесконечно малыми более высокого порядка, чем силы, действующие на грани, можно пренебречь. Тогда из условий равновесия тетраэдра следует: рл = х1 + тххт + тxz, р., = т.,_/ + ст..т + т,_и,

  • (1.6)
  • 1 У У^ У У^

р. = т.г/ + т„,т + <5. и.

Соотношение (1.6) позволяет вычислить составляющие полного напряжения pv на наклонной площадке, проходящей через заданную точку, по известным значениям стЛ, ctv, ст-, тху, тлг, тух, Tyz, Tzx, Tzy, составляющих напряжений в этой точке и значениям направляющих косинусов нормали к площадке I, т, п. Зная полное напряжение к этой площадке pv, можно найти нормальное ctv и касательное tv напряжения:

2 2 2

Pv - P.V +Ру + Р?’ ст V = Рл/ + Р ут + р.п,

  • (1.7)
  • 2 2 2

Tv - Pv +cv

Следовательно, на любой наклонной площадке, проходящей через данную точку М, нормальное и касательное напряжения могут быть выражены через известные напряжения стЛ, ctv... тгу или, иначе говоря, эти напряжения полностью характеризуют напряженное состояние в данной точке тела - они являются компонентами тензора напряжений.

Тензор напряжений обычно представляется матрицей вида

(1.8)

В матрице в каждой строке компоненты тензора имеют одинаковое направление, а в каждом столбце - относятся к одной и той же площадке. Нормальные напряжения располагаются по главной диагонали матрицы.

Таким образом, тензор напряжений - это величина, характеризующая напряженное состояние в рассматриваемой точке тела; компоненты тензора записываются в виде специальной матрицы.

Необходимо отметить, что в соответствие с законом парности касательных напряжений касательные напряжения с одинаковыми индексами, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках, равны друг другу по величине, то есть [7]

т = т т = т т = т

^ху ZX’ yz zy

Следовательно, с учетом закона парности касательных напряжений напряженное состояние в точке тела характеризуется шестью компонентами напряжений по координатным осям. Обычно это компоненты

Од., сту, , Тду, Tyz, т^д •

При равенстве по величине касательных напряжений

=tvv,ty_ =t.v,tv„ =тг>, матрица (1.6) симметрична относительно главной диагонали. Такой тензор называется симметричным.

С целью упрощения письма тензор напряжений записывается часто в виде

И1

т12

т13

^ik =

Т21

т22

т23

,i,k = 1,2,3,

Т31

т32

т33

где Т)1 =Од,т12ду...т33 =oz-

Итак, напряженное состояние в точке характеризуется тензором напряжений, а напряженное состояние тела - совокупность тензоров, образующее тензорное поле.

Важным свойством тензора напряжений является возможность приведения его к главным осям и, как следствие, возможность определения главных напряжений. Главными называются такие площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями.

Пусть на наклонной площадке с нормалью v действует только нормальное напряжение civ. В этом случае полное напряжение равно нормальному, то есть pv = qv =q, где а - главное напряжение. Составляющие полного напряжения по осям х, у, z равны р^ = crZ,p =<дт,р_ = сун- Используя соотношение (1.6) нетрудно получить о7 = су J + т „,т + т Y7n, ат = тху1 + а ут + ^xzn, ап = т,../ + т7,.ш + а.п.

(1.9)

xz zy Z

Система однородных относительно I, т, п уравнений может быть преобразована к виду

(су,. - су)/ + т„.т + тГ7п = О,

т,.../ + (су,, -су)т + т„7н = О,

Ул у / у-с

т1 + x7Vm + (су_ -су)и = 0.

Система (1.10) имеет отличные от нуля решения, если ее определитель равен нулю, то есть [8]

Определитель третьего порядка (1.11) можно записать в вид

су3 - Jjcy2 + J2a + J3 = 0, (1.12)

где

J ] — а х + су у + су _, г 2 2 2

J о — СУ ,.СУ,, + СУ СУ .. + СУ -СУ т — т— т _г,

z. х у у х z х ху yz zx7

J _ , о 2 2 2

— СУЛСУ^СУ + ^y^zx ^z^xy’

Корни этого кубического уравнения - искомые главные напряжения на главных площадках.

Для решения уравнения (1.12) используется подстановка:

cy = a + -Jj. (1.13)

Тогда уравнение (1.12) принимает вид

а3 4- Зра + 2q = 0,

(1.14)

где

If , р = -| А-

Ъ2 з 1

Дискриминант Д = р3 + q1 уравнения (1.14) отрицателен, следовательно, все три его корня действительны. При Д < 0 для решения кубического уравнения применяют так называющий тригонометрический метод [7,8]:

,0С| -

(1.15)

где |р| - абсолютное значение коэффициента р;

-1

д .

|р|3/2

=— arccos 3

Для последующего определения главных напряжений стц ст?, стз, найденные значения корней ai, а?, аз подставляются в выражение (1.13).

Подставив далее каждое из напряжений Ст], стз, стз, в любые два уравнения (1.10) и используя геометрическое соотношение /222=1, можно определить направляющие косинусы соответствующих главных площадок.

Так как для каждой точки тела имеются только три главные площадки и соответственно три главных напряжения, то эти напряжения не зависят от выбора координат и, следовательно, коэффициенты J, Jz, J3 также не зависят от выбора системы координат. Коэффициенты Д, Л, Лз называют первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений. Их можно выразить через главные напряжения в виде

J — СТ] + С?2 + СТ3, /2 = ^1^2 "1” ^2^3 + ^3^1 ’ J3 = *^2^3 • (1.1 б)

С тензором напряжений непосредственно связана другая величина -тензор деформаций, характеризующая состояние деформированного тела в рассматриваемой точке [7].

Тензор деформации представляет собой также симметричную матрицу, построенную из составляющих, на которые в окрестности рассматриваемой точки может быть разложена любая сложная деформация элементарного (очень малого) объема твердого тела.

Если через данную точку провести координатные оси, например х, у, z, то тензор деформаций запишется в виде

?хх

УгУху

У1Ухг

тд =

%Уху

ЕУУ

УгУуг

УгУа

У>Угу

ezz

(1.17)

где компоненты тензора выражаются через проекции смещения Wy, Wz той же точки на оси х, у, z следующим образом:

dWx dW QW,

" 8x n 8y — 8z

dW, Ж SW gw 8W- 8W.

=+Х'Уг< +1T

Тензор деформаций записывают также в виде

§?i7. -

?11

е21

?12 ?13

^22 ?23

,i,k = 1,2,3,

е31

S32 е33

ГДе ?11 = ?лх’?12 = ХГлу-?33 = eZZ

Тензор деформаций, как и тензор напряжений, может быть приведен к главным осям. Главными осями деформаций называются такие три взаимно ортогональные прямые, проходящие через точку тела, которые совпадают по направлению с линейными элементами, испытывающими при деформации только изменения длин. Деформации этих элементов называются главными деформациями в точке тела. Сдвиги в главных осях деформации равны нулю.

T1

Главные деформации определяются по уравнениям, аналогичным (1.10) -(1.14), при замене значений напряжения на величины соответствующих деформаций [7]. Главные деформации принято обозначать через 81,82,83-Инварианты тензора деформаций, выражение через главные деформации имеют вид

Jу — 8] + 82 + 83 J У2 — ^1^2 + ^2^3 + ^3^1 ’ 73 = ^1^2^3‘ (1.19)

В дальнейшем потребуется знание некоторых правил действий с тензорами 191.

При сложении ( вычитании ) тензоров $ajk и 5^,где i, к=1, 2...П, образуется тензор §cik с компонентами:

cik = aik±bbik- (1.20)

При умножении скаляра А на тензор $ajk образуется тензор §cik с компонентами:

cik=Aaik' (1-21)

Тензорным произведением двух тензоров и 5?>, называется тензор 5с-,.

IK IK 1К

с компонентами:

cik=^ajrbjk> (1-22)

где при суммировании берутся парные произведения компонентов строк первого тензора и компонентов столбцов второго тензора с одинаковыми вторыми индексами у первых и первыми индексами у вторых сомножителей соответственно.

Пример. Определить компоненты тензорного произведения $cik тензоров 8aik и dbik при i, k=l, 2, 3.

Решение. Значение $cjk находим по формуле (1.22):

Сп -«п&п + «12^21 + й13^31

С12 = й1А2 + а12Ь22 + а13Ь32

С33 - а3^3 + а32^23 + а33^33

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >