Обобщенный закон Гука

В теории упругости различают изотропные и анизотропные среды. В первой из них упругие свойства среды одинаковы во всех направлениях, во вторых -упругие свойства различны по различным направлениям.

При распространении сейсмических волн, образующихся при землетрясении, грунт обычно рассматривается как изотропная среда.

В самом общем виде связь между деформациями и напряжениями в изотропной среде представляется в виде тензорного уравнения вида [7]

5tiA. = Л.08- + ; i,k = 1,2,3; j = 1,2,3 , (1.23)

где $xik ~ тензор напряжений; gg.^ - тензор деформаций; - единичный тензор Кронекера; 0 - объемная деформация; цД - упругие константы Ламе.

Значения и 0 представляются в виде

  • (1.24)
  • 0 = 8ц+822+езз-

Упругие константы Ламе X, у. связаны с модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона v и модулем сдвига G соотношениями

  • 2vG _ Ev (l-2v) “ (l + v)(l-2v)’ 2-(l + v)
  • (1-25)

С учетом правил сложения тензоров и умножения скаляра на тензор компоненты тензоров (1.23) могут быть записаны в виде системы уравнений:

Тц=Х(?11+?22 + ?зз)+2Нец>

т22 = 1 + ?22 + ?33 ) + 2Ц?22»

т33 = Х(?п + ?22 + ?33 ) + 2Ц?33,

(1.26) т12 ~ 2Ц?12,

т23 = 2И?23’

Т31 =2Ц?з1-

Согласно закону парности касательных напряжений

Т21 12’Т32 23’Т13 ^31-

СоОТНОШенИЯ (1.26) представляют собой обобщенный закон Гука. Они устанавливают связь между деформациями и напряжениями в случае сложного напряженного состояния тела.

Можно показать, что в важных частных случаях одностороннего сжатия (растяжения) и сдвига они переходят в известные состояния (1.1)- (1.3).

Пусть, например, имеет место одностороннее сжатие тела. При этом напряжения

Т^0,Т22 =Т33122331 =0,

и система уравнений (1.26) принимает вид:

Тц=Х(?11+?22+?зз)+2ц?11,

  • 0 = x(?j 1 + ?22 + ?зз)+ 2це22, (1 27)
  • 0 = Х(?11+?22+?зз)+2ц?33,

О = ?Ц =?22 =?33-

Вычитая из второго уравнения этой системы третье уравнение, нетрудно получить

Следовательно, деформации g22 = е33 и из второго уравнения (1.27) можно получить

О = Л.8] | + 2X822 + 2Xs33.

Отсюда с учетом соотношения (1.25)

  • -X
  • ?22 -?33 - 2(Х + ц)?11 (1.28)

Подстановка значений 822 и 833 первое уравнение (1.27) с учетом соотношений (1.25) приводит к выражению

2+ЗХц _

. — ?н=??и- О-29)

Х + ц

Соотношения (1.29), (1.28) есть не что иное, как формулы (1.1) и (1.2), причем знак минус в соотношении (1.28) перед коэффициентом Пуассона v указывает, что при произвольном сжатии тела происходит увеличении его размеров в поперечном направлении и, наоборот, при растяжении в продольном направлении имеет место сужение тела в поперечном направлении.

Пусть имеет место односторонний сдвиг при Т12 > 0 • В этом случае

Т11 - т22 = т33 = Т23 = Т31 = О-

При сдвиге изменение объема тела не происходит. Следовательно

0 - ?i 1 + ?22 + ?зз - 0 •

С учетом данных соотношений из уравнений (1.27) можно получить

Tn =2ц812,

?11 =?22= ?33 = е23 = ?31 = ОУчитывая, что = —у12 p = G где Y12 ” Угол сДвига> 6 _ модуль сдвига, первое из этих соотношений принимает вид

T12 -G712’

что полностью совпадает с формулой (1.3).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >