Распространение колебаний в упругой среде

Распространение упругих возмущений в изотропной среде описывается уравнением Ламе [10]:

d2W / х

р—з- = (А, + p)graddiv W + цАРИ + pF, dr

(1.30)

где р - плотность среды (грунта); W - смещение точек среды; F - массовая сила (например, если массовая сила - сила тяжести, то F=g); А, ц - упругие константы Ламе.

В уравнении (1.30) величина div W - это дивергенция, то есть расхождение векторного поля W в точке (х, у, z). Если обозначить проекции векторного поля W на координатные оси через 1?х, Wy, Wz, то можно представить

dW dW 8W.

dx dy dz

Величина graddiv W (градиент div W) - это вектор, показывающий направление наиболее быстрого изменения div W:

graddivW = —(divW)-z+—(divW)- j + — (divW)-к'

dx dy dz

где i, j, к - орты координатных осей х, у, z.

Величина А в уравнении (1.30) - это оператор Лапласа:

д g2 d2 " дх2 + дуг + dz2

При распространении упругих возмущений в неограниченной изотропной среде силой F обычно пренебрегают по сравнению с упругими силами и силами инерции. Тогда с учетом пояснений относительно значений graddiv W и ЛУИ уравнение (1.30) можно записать в проекциях на координатные оси в виде

d2Wx Л ч д (dWx dW dw. (d2Wx 52WV a2w

P—r- = (k + Ph- -^ + -7- + ^ + +

dr dx{ dx Oy dz ) dxz dyz dz2

(1.31)

При распространение упругих возмущений на большие расстояния движение среды можно рассматривать как плоское движение. В этом случае смещение W зависит только от одной из декартовых координат, например х, и времени t:

d2Wx

-h+u)^+^4-h+2uA

p a2

+ 3x2 + 5x2 "(Х + 2И) ax2

aV.

p а? ax2

d2W7 d2Wz

Обозначив

p az2p ax2 '

^±2М2;Я = 62, p p

нетрудно получить

  • (1-32)
  • (1.33)

d2Wz 2d2Wz d2W 2d2W d2Wz ,id2W.

  • (1.34)
  • —i=a —z- = d -г-;—^ = b —

dt2 dx2 dt2 dx2 dt2 dx2

Уравнения (1.34) представляют собой волновые уравнения, где величины а, b являются скоростями распространения возмущений. Видно, что скорости распространения составляющей смещения Wk и составляющих Wy, W- различны. Следовательно, в рассматриваемом случае движения возмущений в упругой грунтовой среде формируется волновая система, состоящая из двух волн [10]. В одной из них смещение (Wx) совпадает с направления распространения самой волны. Такая волна называется продольной и распространяется со скоростью й = /А. + 2ц . в другой - смещение Uw2 + W2 j лежит в плоскости,

V Р Х

ортогональной к направлению ее распространения. Такая волна поперечной и распространяется со скоростью

называется

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >