Потенциальная энергия напряжений

Потенциальная энергия деформаций численно равна работе внутренних усилий (напряжений) на перемещениях, вызванных действием этих усилий [7].

Рассмотрим, например, работу напряжения стх при деформации &х,

Qo = =Eaxdzx = ^Ее2 = xs2, (1.35)

о 0

где E - модуль Юнга, Qo - работа напряжения.

Рассмотрим далее работу напряжений ах, у, qz, тху, туг, т», действующих на гранях элементарного (бесконечно малого) объема, например, куба с ребрами dx, dy, dz, при деформациях ?х, ?v, ?z, уху, yyz, у^ соответственно. По аналогии с выражением (1.35) нетрудно получить [7]

Qo = + + ЬгЧ + <136)

Используя зависимости между деформациями и напряжениями (1.26), с учетом соотношений (1.25) можно найти

2° = ^(СТх + СТУ +СТ1)-^(СТх°у +стг + (1-37)

Если координатные оси х, у, z - главные оси деформации тогда = yv_ =yzx = хху = xyz х)- =0’ ПРИ этом соотношение (1.37) принимает вид

Qo = [(<*? + )- 2ц(а1с2 + а2стз + сг3С1)], (1.38)

где

Потенциальная энергия напряженного тела может быть определена интегрированием соотношений (1.36) - (1.38) по всему объему тела:

0 = (1 39)

При землетрясении очаг землетрясения находится обычно на глубинах от нескольких километров до нескольких сот километров. На таких глубинах напряжения в грунте могут достигать больших значений. Область, занятая очагом, также может иметь значительные размеры. Указанные обстоятельства объясняют выделение большого количества энергии при землетрясении.

Волновая система при землетрясении

Высвобождение накапливающейся длительное время в земной коре энергии напряжений сжатия, растяжения, сдвига обычно происходит в некотором объеме, называемом очагом землетрясения. В пределах очага имеет место разрушение земных пород. В геологии используется специальный термин -разлом [1,12].

Протяженность разлома (а значит и очаговой области) может достигать десятков, в отдельных случаях - сотен километров. Образование разлома часто сопровождается смещением земных пород. Если при этом образование разлома происходит в результате действия растягивающих усилий, то некоторый объем породы может соскользнуть вниз - возникает так называемый нормальный сброс. При сжатии часть породы может быть выдавлена вверх - такой разлом называют обращенным сбросом. Возможно также горизонтальное перемещение некоторого объема породы при наличии сдвигающих усилий; в этом случае говорят о поперечном сбросе. Указанные типы сбросов поясняет рис. 5.

Схемы разломов при землетрясении

Рис. 5. Схемы разломов при землетрясении:

а - нормальный сброс, б - обращенный сброс, в - поперечный сброс

В очаге землетрясения выделяется точка, в которой начинается разрушение земной породы, именуемая гипоцентром. Проекция гипоцентра на земную поверхность называется эпицентром. Возмущения грунтовой среды, порожденные в гипоцентре, распространяются во все стороны в виде упругих продольной (Р) и поперечной (5) сейсмических волн. Взаимодействие этих волн с поверхностью земли возбуждает поверхностную волну (R). Схема распространения волн Р, S, R в случае однородного грунтового полупространства показана на рис. 6 [13].

Волновая картина при землетрясении

Рис. 6. Волновая картина при землетрясении

Согласно приведенным ранее в п. 1.6 пояснениям продольная волна Р характеризуется объемными деформациями сжатия и разрежения. Частицы грунта совершают колебания в направлении, совпадающем с направлением распространения волн.

Поперечная волна S связана с деформациями сдвигового характера. Частицы грунта совершают колебания в направлении, перпендикулярном направлению распространения волн.

В поверхностной волне R частицы грунта совершают колебания по эллиптическим орбитам в вертикальной плоскости.

Скорости распространения продольной и поперечной волн определяются по соотношениям (1.33). Скорость распространения поверхностной волны составляет ~0,9 от скорости поперечной волны.

В дальнейшем будем обозначать скорости распространения волн Р, S, R через Np, Ns, Nr соответственно. С учетом соотношений (1.33) и (1.25) можно получить [13]:

U + 2//

V Р

Ns = J^- = I F c, м/с, VP V2p(1 + v)

(1-40)

NK = 0,9Ns,

где p - плотность грунта, кг/м; E - модуль Юнга, Па; v - коэффициент Пуассона.

Значения р, Е, v для некоторых грунтов приведены в табл. 2.

Таблица 2

Значения плотности грунта, модуля Юнга, коэффициента Пуассона

Грунт

Е, Па

V

р, кг/м3

Гранит Известняк

  • (3,5...5)-1О10
  • 3,5-10"’

0,1...0,15 0,2

(2,5...3)>103 2,3-103

Пример. Определить скорость распространения продольной, поперечной и поверхностной волн по скальному грунту (гранит р=2,5-103 кг/м3; Е=5-1О10 Па; v=0,15).

Решение. 1. Скорость распространения продольной волны вычисляем по первой формуле системы (1.40):

„ I 5 Ю10 -(1-0,15) . , 1п3 ,

Np - I------------------—------= 4,6 • 10 , м/с.

X 2,5-10 3 (1 + 0,15)-(1-2 0,15)

2. Скорость формуле (1.40):

распространения поперечной волны находим по второй

  • 5 10
  • 2 • 2,5-103 (1 + 0,15)

= 2,95-103, м/с.

3. Скорость распространения поверхностной волны определяем по соотношению (2):

NK = 0,9-2,95 IO3 = 2,66 IO3,м/с.

Большие скорости распространения сейсмических волн создают значительные трудности с оповещением населения о факте землетрясения.

Пример. Оценить возможность оповещения жителями одного населенного пункта жителей другого населенного пункта о землетрясении, если первый из них расположен непосредственно в окрестности эпицентра землетрясения, второй - на расстоянии L=100 км от эпицентра. Глубина очага землетрясения Н=20 км (величины L, Н соответствуют рис. 6). Условия распространения сейсмических волн такие же, как и в рассмотренном выше примере.

Решение: 1. Находим время прихода первой из сейсмических волн -продольной волны Р к первому населенному пункту:

Н 20 [км]

Нр ~ 4,6 [км/с]

2. Вычисляем время прихода этой волны ко второму населенному пункту:

t Jh2+L2 л/202 + 1002 [км] ___

Z,----------------------------- 22,2 с.

Np 4,6 [км/с]

3. Находим разность времени = t2-tv определяющую возможность оповещения:

Дг = 22,2 с -4,3 с = 17,9 с.

За такое время оповестить население и принять необходимые меры по защите исключительно сложно.

Как известно, земная кора состоит из различных грунтовых работ, залегающих, как правило, послойно. При наличии неоднородных слоев, что, как правило, имеет место в реальной действительности, волновая картина при землетрясении существенно усложняется. Особенность распространения сейсмических волн состоит в том, что при косом падении на границу раздела двух сред волны одного типа, например Р, возникают, кроме преломленной (/’/’+) и отраженной (Р_) продольных волн, преломленная (Р5+) и отраженная (PS-) поперечные волны (рис. 7).

Схема преломления продольной волны из одного грунтового слоя в другой

Рис. 7. Схема преломления продольной волны из одного грунтового слоя в другой

Положение фронтов волн РР+, РР_, PS+, PS- определяется по закону Снеллиуса:

Np _ npp+ _ NpS+ _ Nрр- _ ps- (141)

sin a sin a' sinP' sin a" sinP"’

где Np,Npp+,NpS+,Npp_,NpS_ ~ скорости распространения волн P, PP+, PS+, PP-, PS- соответственно (находятся по формулам (1.40));

a - угол падения фронта волны Р на границу раздела сред;

а', р' - углы преломления волн РР+, PS+ соответственно;

а", р" - углы отражения волн РР-, PS- соответственно.

Обычно плотность грунта и скорости распространения волн в верхнем слое меньше, чем в нижнем. В этом случае при косом падении продольной волны Р+ на границу АА' в верхнем слое в результате преломления формируются РР+, PS+ волны. При их отражении от границы ВВ' верхнего слоя образуются волны РРР-, PPS-, PSP-, PSS-. Здесь индекс (+) при обозначении волн соответствует волне сжатия, индекс (-) - волне разрежения. При отражении волн РРР-, РР-, PS-, PS от нижней границы АА " верхнего слоя формируется следующая группа волн и т.д. Волновая система, формирующаяся в верхнем слое двухслойной грунтовой среды при распространении сейсмических волн Р и S, показана на рис. 8 (с целью упрощения рисунка отраженные и преломленные волны в нижнем слое здесь не показаны) [13].

Сейсмические волны в двухслойной среде

Рис. 8. Сейсмические волны в двухслойной среде

Таким образом, при наличии неоднородных слоев при землетрясении имеет место сложная волновая картина. В приповерхностном слое рассмотренные продольная и поперечная волны представляют собой по существу волновые пакеты, состоящие каждый из целой группы различных волн.

На рис. 9 показаны в качестве примера изменения во времени ускорения, скорости и смещения грунта при землетрясении 9.02.1971 года в Сан-Фернандо (штат Калифорния, США) [11].

На этом рисунке запись ускорения, то есть акселерограмма, первична; скорость и смещение грунта получены интегрированием. Обращает внимание отличие вида колебаний ускорения, скорости и смещения грунта, имевших место при этом землетрясении. Данное обстоятельство связано с наложением высоких гармоник колебаний от отдельных волн на основное колебание грунта, обусловленное волновым пакетом. Известно, что скорость можно рассматривать как первый интеграл по времени от ускорения, смещение -второй. При интегрировании высокие гармоники сглаживаются. Полученные таким способом значения скорости и смещения грунта отвечают реальному характеру движения грунта при рассматриваемом землетрясении.

Значение ускорения, скорости и смещения грунта при землетрясении в Сан-Фернандо в 1971 г

Рис. 9. Значение ускорения, скорости и смещения грунта при землетрясении в Сан-Фернандо в 1971 г.

Параметры движения грунта при землетрясении регистрируются на сейсмических станциях с помощью специальных приборов - сейсмографов и акселерографов.

Движение грунта в любой точке происходит в трех измерениях. Это означает, что точка движется в пространстве, а не просто в плоскости или по прямой. Чтобы зарегистрировать такое движение, сейсмограф должен иметь три сейсмометра, движущихся в трех взаимно перпендикулярных направлениях (двух горизонтальных и одном вертикальном) и позволяющих получить соответствующие сейсмограммы. Сейсмометр - это чувствительный элемент прибора, реагирующий на сейсмическое воздействие. Обычно это маятник или груз, закрепленный на пружине. Движение сейсмографа преобразуется в сейсмограмму одним из способов: перо чертит линию на бумаге, закрепленной на вращающемся барабане; световой луч оставляет след на движущейся фотопленке; электромагнитная система генерирует ток, который с помощью электронного устройства записывается на магнитной карте.

В качестве примера на рис. 10 приведена схема сейсмографа маятникового типа, применяемого для регистрации горизонтальных смещений (колебаний) грунта.

  • 1 - груз маятника;
  • 2 - точка подвеса маятника;
  • 3 - перо;
  • 4 - демпфер;
  • 5 - вращающийся барабан.

Рис. 10. Схема сейсмографа

Принцип действия сейсмографа. При смещении земной поверхности, например, слева направо на величину х, на эту же величину вместе с корпусом прибора сместятся точка подвеса маятника (2) и барабан (5). Груз (1) в первой момент времени остается неподвижным. Это вызывает отклонение маятника относительно вертикали, и перо прочертит на барабане определенную линию.

Сейсмограф регистрирует смещение грунта. Для регистрации ускорения грунта используются другие приборы - акселерографы. Чувствительный элемент этих приборов называется акселерометром, полученная запись -акселерограммой.

Основные параметры сейсмических волн (скорость распространения волн, ускорение, скорость и величина смещения грунта, продолжительность действия) зависят от энергии землетрясения, глубины очага и удаления точки наблюдения от эпицентра, а также физико-механических свойств грунта: плотности, модуля Юнга, коэффициента Пуассона.

Из соотношения (1.39) видно, что для определения энергии землетрясения необходимо знание размеров очага и величин напряжений в очаге, которые в свою очередь зависят от его глубины; в целом - это достаточно сложная задача.

Ниже рассматривается способ определения энергии землетрясений, предложенный американским сейсмологом Рихтером.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >