Нормальный закон распределения случайной величины. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона

Во многих случаях распределение случайной величины подчиняется нормальному закону распределения.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если плотность ее распределения подчинена зависимости [8]

1

л/2лсу

ехр

  • (х-М[Х])2
  • 2су2
  • (2.Ю)

Используя подстановку t _ Х~М[Х], вероятность попадания случайной а

величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал (а, Р) можно представить в виде

Р(а<Х?1)-ф(у2)=

(2.И)

где Л Р-Н*]. ь <Х-Л/[Х] СУ СУ

Интеграл вида часто встречается в задачах теории вероятностей. Его значение -табулированная функция Лапласа [8]. На практике удобнее пользоваться аппроксимационными зависимостями [28, 29].

(2.12)

Для оценки вероятности поражения объекта профессором Яковлевым В.В. рекомендовано использовать аппроксимацию, предложенную Евстифеевым Ф.А. [28, 29]:

=°.5 + ®(<’). (2.13)

где функция Ф(х) определена только для положительных значений z,

ф(г) = 0,5(1-exp (-0,37? -0,8z)J (2.14)

Поскольку функция Лапласа обладает свойством симметрии, принимается

ф(-?=Ф(г). (2.15)

Вероятность поражения объекта

=0,5±ф(Д (2.16)

Для удобства пользования последнее соотношение можно представить в виде

7>|х<л=0,5 + ф(|г|)пРиг>0,

Р|х<, = °’5 - Ф(Н) при z < °’ (2-17)

Ф(г)=0,5[1 - ехр(- 0,37|z|2 - 0,8|г|)]-

В формулах (2.17) нормированное отклонение z находится по соотношению

г=^ш. (2.18)

а

Учитывая особенности нормального закона распределения, для которого вероятность реализации случайной величины, значения которой не превосходят М[х] —За, составляет 0,0014, а вероятность реализации случайной величины, значения которой не превосходят Л/[х] + За, составляет 0,9984, можно сказать, что в случае, если значение случайной величины укладываются в интервал (М [X ]-За, Л/[х] + За), то вероятность ее реализации практически равна единице.

С учетом этого допущения, значения нормированного отклонения z, математического ожидания М и среднеквадратического отклонения а при определении вероятности поражения объекта при землетрясении находятся по соотношениям ду _ ^max ^min

2

ст=Лпах-Атп? (2.19)

I-M Z =------,

Q

где /щах - максимальное значение параметра, определяющее нижнюю границу значений безусловного поражения объекта; Anin минимальное значение параметра, определяющее верхнюю границу значений безопасности объекта; I - воздействующее значение параметра (интенсивность землетрясения), для которого рассчитывается вероятность поражения объекта.

Распределением Пуассона обычно описывается распределение дискретной случайной величины.

Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счетное множество возможных значений 0, 1,2, 3, ... N с вероятностями [8]

P(N ) = — e~N = 1,2,3,... Л, (2.20)

v 7 А!

где X - параметр распределения; N - число рассматриваемых событий.

Примеры пользования соотношениями (2.17), (2.20) приводятся в следующем параграфе.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >