Сложение и умножение мощностей

Множество конечных мощностей линейно упорядочено и не содержит наибольшего элемента, следовательно, оно бесконечно.

Для множеств, кроме отношения включения, были определены теоретикомножественные операции: пересечение, объединение, декартово произведение. Чуть позже с помощью этих операций над множествами мы определим арифметические операции над целыми неотрицательными числами.

Но для этого нужно, чтобы теоретико-множественные операции, примененные к конечным множествам, снова давали в результате конечные множества.

Теоретико-множественные операции над конечными множествами

Наша цель состоит сейчас в доказательстве того, что теоретико-множественные операции, примененные к конечным множествам, снова дают в результате конечные множества.

Напомним, что подмножество конечного множества само конечно. Так как пересечение множеств A vi В является подмножеством множества А, пересечение конечных множеств является конечным множеством.

Так как разность множеств А и В является подмножеством множества А, разность конечных множеств является конечным множеством.

Объединение конечных множеств

Покажем теперь, что объединение конечных множеств само конечно.

Заметим сначала, что если множество А конечно, то цепочка вложенных друг в друга подмножеств множества А не может быть бесконечной.

Действительно, предположим, что цепочка со строгими вложениями бесконечна:

А => А] => Аг =>....

Выберем по одному элементу из каждой разности:

A Ai, А1 Аг,....

Пусть это будут элементы а, «|, «г, ••• • Отображение а -^а, а і ъ^а2, ... взаимно однозначно отображает множество выбранных элементов в собственное подмножество, и, следовательно, множество А содержит бесконечное подмножество, а это для конечного множества невозможно. Полученное противоречие означает, что предположение о бесконечной строго убывающей цепочке подмножеств из А неверно: таких цепочек в конечном множестве нет.

Этот факт означает, что строго убывающая цепочка конечных мощностей:

а > Ь> с > ...

обязательно обрывается, т. е. состоит лишь из конечного числа элементов.

Теперь пусть А, В — конечные множества. Если множество В пусто, то А и В - А — и все в порядке. Если множество В состоит из одного элемента, то множество А и В снова конечно (этот случай рассмотрен при доказательстве того, что наибольшей конечной мощности не существует).

Итак, пусть множество В — более чем из одного элемента: В = {/;} и В. Тогда множество {/?} и А конечно, а множество В имеет мощность, строго меньшую мощности множества В.

Снова в зависимости от мощности В наступает или конец процедуры объединения, или же мы забираем из множества В еще один элемент. Продолжаем далее таким же образом. Мы уже знаем, что возникающая при этом цепочка вложенных друг в друга подмножеств конечного множества В непременно оборвется: в момент этого обрыва (т. с. в момент превращения того, что осталось от В, в пустое множество) и будет закончено объединение множеств А и В. На каждом шаге будет присоединяться лишь один элемент, следовательно, получающееся промежуточное множество будет конечным. Будет конечным и последнее множество в этой процедуре, а именно множество А и В.

Объединение конечных множеств является конечным множеством.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >