Сложение и умножение бесконечных мощностей

Но нет, этот первый взгляд обманчив, рациональных чисел в точности столько же, сколько и целых, иначе говоря, множество Q — счетно.

Действительно, каждое рациональное число можно представить и единственным образом в виде бесконечной десятичной периодической дроби (кроме случая девятки в периоде). Это значит, что каждое рациональное число представляется конечной цепочкой символов (в таблице в каждой ячейке содержится один символ):

Причем цепочки годятся не все, а лишь определенного вида (указанного в предыдущем параграфе; например, символ «запятая» употребляется только один раз, скобки используются тоже лишь однажды, причем правая скобка может стоять лишь в конце, а левая — не раньше запятой и т. д.).

Множество всевозможных таких цепочек-слов счетно: сначала мы можем перечислить все слова из одного символа, затем — из двух, далее трехсимвольные и т. д. Для любого конечного числа п существует лишь конечное число множества «-буквенных слов (и, соответственно, рациональных чисел), эти конечные подмножества можно упорядочить любым способом (например, по возрастанию), а в результате будет получен пересчет множества Q. Множество Q имеет такую же мощность, что и N: „(q) = n0.

Идея, примененная для пересчета Q, переносится на общий случай.

Множество всевозможных конечных цепочек символов — слов в некотором алфавите — счетно, если алфавит конечен. Возьмем, например, множество всех предложений, использующих латинский и греческий алфавиты, кириллицу, знаки препинания (в том числе знак пробела), математические, логические символы и т. п. Тогда предложение, выражающее любое свойство элементов, будет представлять всего одно слово в этом расширенном алфавите.

Это значит, что множество всех свойств (предикатов) счетно. Следовательно, лишь счетное число множеств можно задать с помощью свойств элементов этих множеств.

Счетным будет и множество всевозможных алгоритмов. Каждый алгоритм (некоторая инструкция, состоящая из предложений) с использованием знака пробела будет представляться одним словом. Множество слов в счетном алфавите само счетно, следовательно, существует лишь счетное число множеств, которые можно задать перечисляющими алгоритмами.

Попробуем получить множество большей мощности с помощью теоретикомножественных операций.

Фактически мы уже подсчитывали элементы в объединении двух счетных множеств при установлении счетности множества целых чисел.

Множество Z является объедением двух непересекающихся счетных множеств, Z = Z() u (-N), а пересчет множества Z состоял в одновременном пересчете этих двух подмножеств.

Точно так же можно поступить и для произвольных непересекающихся множеств.

Если А = {«і, а2, аз,..., ап,...} и В = {Ь[, b2, Ьз,..., Ьп,...} — два счетных множества, то их объединение А и В тоже счетно. Действительно,

А и В = {яі, Ь, а2, Ьз, аз, Ьз,..., а„, Ьп,

Суммой мощностей называют мощность непересекающихся множеств — представителей мощностей слагаемых:

ІАІ + |В| = |А и В,

где А п В - 0.

Счетность объединения счетных множеств означает, что к000. Суммирование счетных мощностей не привело к еще большим мощностям.

Заметим, что среди чисел таким же свойством (идемпотентности) обладает только число нуль: 0 + 0 = 0. Сходство счетной мощности с числом нуль состоит не только в этом. Счетная мощность является наименьшей бесконечной мощностью. Действительно, если М -произвольное бесконечное и несчетное множество, то из него можно последовательно выбрать счетное число элементов Xi, Х2, ..., хп, ... (если выборка оборвется на конечном шаге, то М конечно, а если М иссякнет после выборки, то — счетно). Если т — произвольная бесконечная МОЩНОСТЬ, ТО хо < т.

После выборки множество Лі, Х2,..., хп можно разделить на два счетных непересекающихся подмножества (например, элементы на четных и нечетных местах) и одну часть вернуть на место взятого. В результате множество М будет иметь исходную мощность: ко + т = т .

Обход декартова произведения счетных множеств


Правда, мы пока никаких бесконечных множеств мощности т, больше счетной, не обнаружили.

Посмотрим, может быть, декартово умножение позволит увеличить мощность и получить несчетное множество.

Декартово произведение А х В счетных множеств тоже счетно.

На рисунке показан алгоритм перечисления элементов декартова произведения в виде пути последовательного обхода множества А х В:

АхВ- {(<71, Ь), (а2, Ь), (а2, Ь2), («і, b2),ь b3),

2, Ьз), (аз, Ьз), (аз, Ь2), (аз, Ь), (а4, Ьх),..., ап,...}.

Произведением мощностей называют мощность декартова произведения множеств -представителей мощностей множителей:

|А| • В = |АхВ|.

Счетность декартова произведения счетных множеств означает, что х000. Умножение двух счетных мощностей не привело к большим мощностям.

Число нуль идемпотептпо и относительно умножения: 0 0 = 0. Однако здесь аналогия с арифметическими операциями над числами и заканчивается. Счетная мощность нс является подобно нулю поглощающим элементом при умножении, его роль такая же, как у единицы, — нейтральная: если т — произвольная бесконечная мощность, то n0 ? т = т ?

Декартово произведение счетных множеств является объединением счетного числа счетных множеств.

Счетное объединение счетного числа счетных множеств само является счетным множеством.

Итак, множества Zo, Z, Q, а также множество всех предикатов и множество всех алгоритмов — счетны. Не удалось получить из к0 большей мощности, используя суммирование даже бесконечного числа счетных множеств, ничего нового не дало и декартово умножение.

Так, может быть, действительно надо говорить просто: бесконечно большое и все бесконечные мощности равны между собой?

Рассмотрим еще одну серию примеров.

Геометрическая фигура — это множество точек. Пусть АВ и CD — два отрезка различной длины.

Число точек в отрезках одинаково — любые два отрезка равномощны. На схеме указано взаимное однозначное соответствие между этими множествами, переводящее каждую точку X одного отрезка в точку Х другого.

Различие длин отрезков может быть очень значительным. Возьмем, например, длину АВ, равную размеру мельчайшей элементарной частицы, a CD — пусть диаметр нашего видимого мира — около 800 миллиардов световых лет. Число точек в этих столь разных отрезках одинаково.

Все отрезки равномощны

Отсюда сразу следует, что равномощны все фигуры, являющиеся объединением конечного числа отрезков, например любой /и-угольник равномощен любому и-угольнику для каждых т, п.

Аналогично устанавливается, что равномощны все окружности, эллипсы, овалы и вообще все линии ограниченной длины.

Но длина может быть и неограниченной. Уже заметили ранее, что точек во всей прямой ровно столько же, сколько их в интервале (-1,1), т. е. точек в неограниченной прямой в точности столько же, сколько в сколь угодно маленьком отрезке (и к тому же отрезок этот даже не имеет граничных точек).

Отрезки, ломаные, дуги окружностей — это все фигуры размерности 1. Все фигуры размерности 1 равномощны.

Возьмем теперь фигуру размерности 2, например квадрат.

Пусть ОАВС — квадрат, являющийся декартовым произведением двух отрезков единичной длины:

ОАВС = {(х, у) I 0 <х < 1, 0 <у < 1}.

Воспользуемся десятичной записью действительных чисел. Тогда х = 0,аі «2 «з—, у = (),/?i Z?2^3--., где bi — цифры (девятка в периоде не разрешается).

Если значение у не изменяется, то получается отрезок, параллельный оси абсцисс, в частности О А = {(х, 0) | 0 < х < 1}.

Пусть мощность множества точек отрезка ОА равна т, а мощность множества точек квадрата ОАВС равна п. Так как отрезок является подмножеством квадрата, то т < п.

Обратное неравенство т > п тоже верно.

Поставим в соответствие каждой точке квадрата (0,аіЯ2«з—; О^і^з - ) точку отрезка (0,йі/?і0а2^20аз^з0...; 0). Если точки квадрата различны, то и соответствующие точки отрезка тоже будут различными.

Болес того, если разрешить записывать числа с девяткой в периоде, то одной точке квадрата окажутся поставлены в соответствие различные точки отрезка. Например, точку (0,1; 0,2) можно записать тогда и в виде (0,09999...; 0,19999). Первому изображению соответствует точка отрезка (0; 0,12000000...), а второму — другая: (0; 0,010990990990...).

Следовательно, возникает однозначное отображение множества точек квадрата внутрь отрезка. Но это как раз и означает, что т > п. Множество точек отрезка и множество точек квадрата равномощны.

Квадрат и отрезок равномощны

Заметим, что здесь пришлось воспользоваться сформулированной без доказательства теоремой Кантора — Бернштейна об антисимметричности отношения < для мощностей, о и без этой теоремы, дающей равенство мощностей, одно лишь неравенство (точек в квадрате не больше, чем в отрезке) уже впечатляет.

Если А равномощно А], а В равномощно В, то А х В равномощно А| х В. Новое отображение является просто объединением исходных отображений.

Прямая Ох равномощна с отрезком ОА. Отрезок ОС равномощен с прямой Оу. Прямое произведение отрезка О А на ОС — это квадрат ОАВС. Прямое произведение двух прямых — это вся плоскость.

Множество точек квадрата и множество точек плоскости равномощны.

Прямая Oz равномощна с отрезком ОА. С отрезком ОС равномощна вся плоскость хОу. Прямое произведение отрезка ОА на ОС — это квадрат ОАВС. Прямое произведение прямой и плоскости — это все трехмерное пространство. Следовательно, все трехмерное пространство и квадрат равномощны.

Итак, отрезок (любой сколь угодно малой, но ненулевой длины), прямая, плоскость, все трехмерное пространство — все эти множества состоят из одинакового числа точек. Из такого же числа точек состоит любая фигура размерности 1, 2 или 3.

И хотя «гуманитарная гипотеза» о том, что бесконечность только одна, этими примерами лишь укрепляется, бесконечность не единственна.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >