Коммутативность, ассоциативность и другие свойства сложения

Свойства операций над множествами определяют свойства операции сложения целых неотрицательных чисел.

Пересечение множеств коммутативно, поэтому

А п В - В п А.

Следовательно, если АгВ = 0, то иВг>А-0.

Объединение тоже коммутативно, отсюда:

А и В - В и А,

следовательно, сложение коммутативно (для каждых а, b из Zo):

а + b - b + а.

Объединение множеств ассоциативно:

Л и(й и С) = (А и В) и С.

Кроме того, если пересечения В n С и А п (В и С) пусты, то пусты и пересечения А п В и (А и В) п С.

AU(SUC) (AUS)UC

Сложение ассоциативно

Отсюда следует, что сложение ассоциативно (для каждых а, Ь, с из Zo):

а + (/? + с) = (« + Ь) + с.

Закон ассоциативности для сложения позволяет при суммировании трех и более чисел не расставлять скобок: результат не зависит от расстановки скобок, т. е. образования ассоциаций слагаемых.

Иностранному слову ассоциация соответствует русское слово сочетание, поэтому в школе вместо слов ассоциативный закон говорят сочетательное свойство.

Ассоциативный закон позволяет говорить теперь о сумме любого конечного числа слагаемых. При изучении свойств операций над конечными множествами мы заметили, что объединение любого конечного числа конечных множеств снова конечно. Для сложения целых неотрицательных чисел это означает следующее: сумма любого конечного числа целых неотрицательных чисел снова является целым неотрицательным числом.

Операция объединения множеств обладает нейтральным элементом - это пустое множество 0 (для каждого множества А):

А и 0 =А.

Мощность пустого множества (число нуль) будет, соответственно, нейтральным элементом при сложении целых неотрицательных чисел (для каждого числа «):

а + 0 = а.

Отмстим, что, кроме нуля, других нейтральных элементов у сложения нет. Действительно, пусть О, — второй нуль. Тогда 0 + 0, = Оц так как 0 — нейтральный, и одновременно О + 01 = 0, так как 01 — нейтральный. Отсюда 0 = О,.

Предыдущие свойства выполняются для любых множеств (в том числе и бесконечных) и, соответственно, для любых мощностей.

Рассмотрим два свойства, специфических только для конечных мощностей, т. е. для целых неотрицательных чисел.

Пусть два множества А, В являются представителями целых неотрицательных чисел а, Ь, т. е. I А | = а и ІВ | = Ь, причем пересечение множеств А и В пусто. Пусть, кроме того, число b отлично от нуля — В 0.

Множество А является подмножеством множества A VJ В, и ввиду непустоты В это подмножество собственное. Из конечности множества А и В следует, что А и В не может быть равномощным множеству А: | А о В | Ф | А |.

Запишем это утверждение, используя определение суммы целых неотрицательных чисел. Если b * 0, то для каждого а

а + b Ф а.

Заметим, что для бесконечных множеств это утверждение не выполняется. Например, множество всех натуральных чисел распадается в два класса: четные и нечетные натуральные чисел. Оба эти множества и их объединение имеют одну и ту же мощность (Ко), и

Ко + Ко = Ко.

Рассмотрим теперь три целых неотрицательных числа а, Ь, с, имеющих представителей А, В, С соответственно. Пусть, кроме того, А п В = A n С = 0 и ІА иВ| = |АиС|,т. е.:

а + b = а + с.

Покажем, что тогда b = с. Предположим, что это не так. Отношение < на множестве целых чисел является отношением линейного порядка. Это означает, что если b * с, то с < b или b < с. Пусть для определенности b < с. Тогда множество В равномощно собственному подмножеству Ci множества С. Обозначим взаимно однозначное соответствие, реализующее эту равномощность, символом f.

Пусть отображение g является тождественным отображениям множества А на себя, т. е. g оставляет неподвижными все элементы из A: g(x) = х для каждого элемента х из А.

Объединим теперь отображения g и f Помешать их объединению могли бы элементы, лежащие в пересечении областей определения g и f и имеющие различные образы при этих отображениях. Однако их объединению ничто не мешает, так как множества определения этих отображений (А и В) не пересекаются. Итак,

, , [/(х), если х є В.

/ug(x)=

lx, если х є А.

Отображение JAjg устанавливает равномощность множеств А ийиА и Сь Из транзитивности отношения равномощности тогда получаем: множество А и С равномощно своему собственному подмножеству А и Ср Получено противоречие, множество А и С конечно и не может быть равномощно своему собственному подмножеству.

Из школьного курса нам известно, что для натуральных чисел (в их привычно-интуитивном понимании) выполняется закон сокращения (для любых натуральных чисел а, Ь, с):

а ? b - а ? с => b = с.


Операция, в терминах которой записан закон сокращения, — умножение, поэтому его можно назвать мультипликативным законом сокращения.

Только что установленное свойство сложения целых неотрицательных чисел,

a + b = a + c=>b = c,

— точно такой же закон сокращения, только записанный в терминах операции сложения, поэтому его называют аддитивным законом сокращения.

Заметим, что предыдущее свойство сложения (если b * 0, то а + b * а,) является частным случаем закона сокращения. Действительно, используя равносильность (X -> У) <» (—.У -> -X) — логический закон контрапозиции, получаем:

(Ь * 0 => а + b * а) <=> (а + b = а => b = 0).

Но последнее утверждение и есть закон аддитивного сокращения:

а + b = а + 0 => b = 0.

Отмеченное ранее равенство Ко + Ко = Ко показывает, что закон аддитивного сокращения для бесконечных мощностей не выполняется. Действительно,

No + Ко — Ко + 0, но К» * 0.

Как подведение итогов выпишем все основные законы сложения.

Сложение целых неотрицательных чисел:

  • 1) ассоциативно,

  • 2) коммутативно,

  • 3) обладает нейтральным элементом,

  • 4) удовлетворяет закону аддитивного сокращения.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >