Вычитание

Пусть даны целые неотрицательные числа а и Ь.

Разностью этих чисел, если она существует, называется такое целое неотрицательное число с, что а - b + с.

Разность обозначают символом а - Ь.

В нашей теоретико-множественной модели сумма чисел определяется через операцию объединения множеств. Если В и С — два непересекающихся множества, то мощность множества А = В и С по определению есть сумма целых неотрицательных чисел |А| = І5І + |С|. Теперь, чтобы вернуться к множеству С, надо выполнить операцию вычитания множеств'. С = А В.

Напомним, что разностью А В двух множеств А и В (или говорят еще дополнением В в А) называют множество

АВ = {х|хєАихг В}.

Интуиция подсказывает нам, что вычитание целых неотрицательных чисел и вычитание множеств должны быть как-то связаны. Это действительно гак, и сейчас с помощью дополнения, т. е. теоретико-множественной разности, определим разность целых неотрицательных чисел.

Вычитание целых неотрицательных чисел, определенное через разность множеств

Пусть множество В имеет мощность, не превосходящую мощности множества А:

|В.1<|А|,


т. е. множество В можно поставить во взаимно однозначное соответствие с подмножеством В множествах.

Обозначим |Х | = а, |В| = В | = Ь. Мощность разности А В называют разностью чисел а и b и обозначают символом а - Ь:

В = |А| - |В|.

Число а принято называть уменьшаемым, b — вычитаемым, а вычисление разности -вычитанием.

Теперь возникают те же проблемы, что и после определения сложения.

Всегда ли разность единственна в случае ее существования? Однозначно ли определена разность, т. е. не зависит ли результат вычитания от выбора представителей?

Ответы на эти вопросы положительны: разность или не существует, или единственна; результат вычитания от представителей смежных классов не зависит. Все это означает, что вычитание является частичной операцией на множестве целых неотрицательных чисел.

А

К определению вычитания

Приступаем к доказательству сформулированных утверждений, основное из которых следующее: если разность существует, то она единственна.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >