Фундирование математико-методологических умений будущих бакалавров педагогического образования

Учитывая особенности реализации методологической составляющей обучения и проецируя их на задачи педагогического образования, следует отметить, что формирование математико-методологических умений студентов педвуза - процесс, требующий постоянного обобщения, периодического возврата и осмысления полученного опыта деятельности на более высоком уровне. Становление и развитие математико-методологических умений начинается еще в школе и, как правило, проявляется у абитуриентов в форме определенного стратегического базиса деятельности: методов, эвристик, алгоритмов, правил. «Большинство выпускников средних общеобразовательных школ знают название одного или нескольких методов решения задач, а также приемов преобразования заданной ситуации. Наиболее часто учащиеся называют методы: дока зательство «от противного», векторно-координатный, дополнительных построений, замены переменного, интервалов и т.п. Некоторые из учащихся могут достаточно четко описать структуру этих методов математической деятельности» [145].

Высшее математическое образование призвано развить этот базис, сформировать на его основе у будущих исследователей в области образования методологическую культуру математической деятельности, направленной на решение профессиональных задач, способствовать оформлению их научного мировоззрения, культуры мышления, а также сформировать у будущих бакалавров представления о сущности и роли методологических умений в развитии культуры мышления и научного мировоззрения школьников. Актуальность такой постановки проблемы усиливается принятыми стандартами общего образования второго поколения, выдвигающих в качестве ключевой - задачу формирования универсальных учебных действий [52, 137]. В связи с этим для построения методической системы нами выбрана концепция фундирования (В.В. Афанасьев, Е.И. Смирнов, В.Д. Шадриков, Ю.П. Поваренков и др.), поскольку ее основные положения не противоречат дидактическим закономерностям усвоения методологических знаний, отвечают современным требованиям к процессу обучения, учитывают особенности педагогического образования.

В чем суть и особенности фундирования математико-методологических умений в рамках данной концепции? Отвечая на этот вопрос, рассмотрим два аспекта: 1) сущность процесса фундирования как психолого-дидактический механизм формирования математико-методологических умений; 2) фундирование названных умений как компонент указанной выше дидактической концепции.

Первый аспект связан с созданием «условий (психологических, педагогических, организационно-методических) для обеспечения целостности, иерархичности, спиралевидности и направленности развертывания содержания» методологической подготовки, включающей выделение, обоснование и освоение базовых учебных элементов школьного (довузовского методологического опыта) и вузовских элементов с последующим теоретическим обобщением и практическим рас ширением структурных единиц [89, с. 138]. Второй аспект предполагает определение содержания уровней базового школьного и вузовского учебных элементов и этапов развертывания второго из них; определение технологии фундирования математико-методологических умений [102, с. 183] и органичное встраивание ее в общую концептуальную схему.

Рассмотрим фундирование как психолого-педагогический механизм целенаправленного развития методологических умений. Значение глагола «фундировать» в толковых словарях [31] объясняется так: 1. Основывать, закладывать. В переносном смысле: обосновывать. 2. Делать твердым, устойчивым; закреплять. Интересно, что если в приведенной последовательности раскрытия значений этого слова речь шла бы об умениях, его описание можно было бы трактовать как порядок этапов их формирования: заложить, создать основу для выполнения последовательности действий; научить обосновывать действия; закреплять умения в деятельности.

Необходимую базу для становления и совершенствования умений образуют два компонента: знания и опыт деятельности. Особенности диалектической взаимосвязи этих компонентов в процессе целенаправленного развития методологических знаний в обучении математике рассмотрены в исследовании М.В. Шабановой [144, 145]. Приведем их краткую характеристику.

Методологические знания выступают информационной и регулирующей основой соответствующих умений. Процесс развития таких знаний в значительной мере отличается от закономерностей усвоения предметных знаний и опыта предметной деятельности. Методологическое знание возникает в форме неявного личностного знания в результате работы интуиции или анализа готовых образцов деятельности, «на этом этапе их даже нельзя отнести к частным эвристическим приемам... это неосознаваемые эвристические приемы, не оставляющие ... никаких следов в конечной записи решения математической задачи...» (Л.Б. Султанова, цит. по [144, с. 89]). В этом случае методологические знания неотделимы от образцов решения научных проблем, уникальны по своей природе, не транслируемы и не переносимы в другие условия, что говорит о значимости процессуальной компоненты в содержании методологического знания в этот период [144, с. 89]. Так, часто теоретические знания не осознаются студентами как методы и способы деятельности. Например, теоремы о свойствах сходящихся последовательностей, как правило, воспринимаются как теоретические сведения и не рассматриваются ими как методы исследования последовательностей на сходимость.

Теорема. Если последовательность {%„} сходится к некоторому числу, то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.

Пример. Последовательность хп = (- 1)'' расходится, так как две ее подпоследовательности У11к = Х2к = 1 и z„k = + / = - 1 сходятся к разным числам. Выде

ление для заданной последовательности {%„} подпоследовательностей, сходящихся к разным числам, есть один из методов доказательства ее расходимости.

Отвечая на вопрос: «Во всякой ли последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность?», студенты, как правило, верно обращаются к теореме Больцано-Вейерштрасса: «Из всякой ограниченной последовательности {%„} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {}». Ее доказательство раскрывает известный в теории пределов метод Больцано как метод построения сходящейся последовательности. Однако этот ее методологический смысл зачастую ускользает из поля зрения студентов, и это знание не попадает в сферу актуальных методов деятельности. Вследствие этого возникают трудности в выполнении заданий: 1.Выделите сходящуюся подпоследовательность для последовательности Jsin—>. Назовите максимальное количество

I 6 J

классов сходящихся подпоследовательностей, которые можно выделить из данной, имеющих разные пределы. 2. Задайте сходящуюся числовую последовательность, определенную на отрезке [а,Ь].

В ходе дальнейшей эволюции, сохраняя свою личностную неявную форму, методологические знания приобретают вид индивидуальных методологических установок, постепенно отчуждаются от процесса их возникновения и осознаются как невыразимый, но значимый результат познавательной деятельности. Они определяют основу индивидуального стиля научного мышления исследователя [144, с.

89] или индивидуального стиля усвоения математических знаний учащегося. Следующий этап в развитии методологических знаний - переход их к неявной межличностной форме, в которой методологические знания могут транслироваться вместе с образцами научной деятельности и использоваться довольно длительное время. В этой форме методологическое знание в научном познании выполняет функции парадигмы, определяющей особенности стиля исследований, характерных для той или иной научной школы или исторического периода развития научных знаний. Содержание методологических знаний на этом этапе постепенно утрачивает как свои процессуальные, так и личностные компоненты.

Следующим является этап выявления методологических знаний, т.е. переход от неявной формы их существования к явной с последующей объективизацией. Момент превращения его из эвристической идеи в строгий научный метод является завершающим этапом существования методологического знания как такового. Процесс эволюции методологических знаний от неявной формы существования к явной (вербализация) и сопутствующий ему процесс изменения их содержания, связанный как с уточнением в научных понятиях и терминах, так и с объективизацией, принято называть рационализацией методологических знаний [145, с. 142].

Потребность в осмыслении методологического знания как объединяющей идеи приводит не только к ее выявлению, но и к абстрагированию ее содержания от конкретных ситуаций использования. По В.В. Давыдову, первый этап эволюции методологических знаний может быть охарактеризован как эмпирическое обобщение. Следующий - связан с их теоретическим обобщением, в результате которого методологическое знание абстрагируется от тех элементов, которые обусловливают его необратимость. Процесс развития методологических знаний, характеризуемый постепенной их систематизацией с последующим обобщением, принято называть генерализацией методологического знания [144, с. 347].

В профессиональном математико-педагогическом образовании основой развития методологических знаний и умений может стать фундирование методологического опыта студентов, базовыми элементами которого выступают методологические компоненты содержания школьного математического образования

(предмет, идеи, методы, алгоритмы, язык науки, представленные в содержании образовательной области «Математика», методы самоорганизации умственной деятельности, методы учебной математической деятельности). Каждый из основных компонентов задает, выражаясь языком рассматриваемой концепции, слой фундирования: предметный (предмет, методы, идеи, алгоритмы, процедуры в математике); метапредметный (самоорганизация умственной деятельности, язык), надпредметный (мировоззренческая, общенаучная и философская методология, методы коммуникативного взаимодействия, методы учебной деятельности).

Особенности функционирования методологического знания в учебном познании указывают на целесообразность реализации в обучении различных схем фундирования методологического опыта как носителя этого знания, отражающих различные направления его обобщения. Например, методы исследования функций одного действительного переменного получают дальнейшее развитие в теории функций нескольких переменных, векторном анализе и теоретически обобщаются в функциональном анализе как методы исследования пространств (классов) функций. Это - пример спирали глобального фундирования на основе теоретического обобщения методов. Вместе с тем умения общематематические, сквозные (логические, алгоритмические, комбинаторные и др.), а также умения организационного, коммуникативного и общеметодологических блоков, совершенствуясь и углубляясь параллельно с предметными, образуют особый слой фундирования, их целенаправленное совершенствование должно опираться на специфические закономерности развития. Так, разнообразие форм существования аналогии в математике (способ интеллектуальной обработки информации: установление сходства, подобия в определённых отношениях объектов, в целом различных [146]; вид умозаключений: построение рассуждений, доказательств; общенаучный метод познания, лежащий в основе метода моделирования, или способ выдвижения гипотез [17, 23]) и ее видовых проявлений (аналогия свойств и отношений; строгая, нестрогая и ложная аналогия [23]) предполагает фундирование соответствующих умений сразу по нескольким направлениям, с выделением разнокачественных проявлений одной сущности. Другим необходимым условием формирования умений выступает опыт их реализации в деятельности, в нашем случае - методологический опыт как оперирование методологическими знаниями в различных ситуациях деятельности. Методологический опыт не сводится к опыту предметной деятельности, он имеет свои особенности, которые должны быть учтены в рамках концепции фундирования опыта личности. Формирование методологических умений происходит на основе выявления, опредмечивания, обобщения и осознанного использования методологических знаний в учебно-познавательной математической деятельности. Поэтому следует указать виды и содержание последней, в которых математикометодологические умения формируются наиболее активно.

В дидактике математики выделяют два относительно самостоятельных вида учебно-познавательной деятельности: собственно предметной (математической) и рефлексивной (в том числе методологической рефлексии как ее подвида). Говоря о соотношении этих двух видов деятельности и процесса формирования методологических знаний, М.В. Шабанова указывает, что первая «является не только формой развития математического знания учащихся, но и средством формирования у них опыта математической деятельности (репродуктивной и творческой), а вместе с тем и средством развития методологических знаний как побочного неосознаваемого продукта этой деятельности» [144, с. 154]. Необходимость включения обучающихся в методологическую рефлексию возникает на этапах «выявления» и «опредмечивания» методологических знаний и на этапе осознанного их использования в качестве средств регулирования учебно-познавательной деятельности [144, с. 155]. Кроме того, важным условием интериоризации методологических умений является наличие опыта самостоятельной учебно-познавательной деятельности с элементами поисковой, исследовательской работы, связанной с осознанием методологических знаний.

Рассмотрение процесса формирования ММУ как одного из направлений реализации дидактической концепции фундирования элементов школьного курса математики (знаний, умений, навыков, методов, алгоритмов) в процессе предметной подготовки студентов делает необходимым: 1) определение содержания уровней базового школьного учебного элемента (знания, умения, методы, идеи, алгоритмы и процедуры); 2) определение содержания уровней и этапов (профессионального, фундаментального и технологического) развертывания базового вузовского учебного элемента; 3) определение технологии фундирования (диагностируемое целеполагание, наглядное моделирование уровней глобальной структуры, локальной модельности, управления познавательной деятельностью студентов); 4) определение методической адекватности базовых школьных и вузовских (фундированных) учебных элементов на основе современных методических концепций. Реализация этих положений рассмотрена в следующих параграфах в виде модели формирования комплекса математико-методологических умений студентов педвуза и ее реализации при изучении приложений основных структур математического анализа.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >