Связь сложения и умножения

Предыдущее означает, что произведений мощностей существует не более одного. Для окончательного результата нужно показать, что произведение целых неотрицательных чисел снова является целым неотрицательным числом.

Другими словами, декартово произведение конечных множеств само конечно.

Для доказательства этого утверждения заметим, что декартово произведение А* В можно представить в виде объединения множеств вида:

5/= {(«,,/>) ЬеВ},

где а, — произвольный фиксированный элемент из множества А.

Каждое В, равномощно множеству В, отображение/: В В, по правилу//?) = (а„ /?) является взаимно однозначным отображением на. Мощность множества {а, | а, <= А}, совпадающего с множеством А, равна IА I = а.

Это означает, что декартово произведение Лхй является объединением а множеств мощности | В |.

Заметим, что для различных множеств В, и В, их пересечение пусто и, следовательно,

ІД хВІ = |в| + |в| + ... + |в|.

или, другими словами,

а ? b = b + b + ... + b.

а

Произведение целых неотрицательных чисел можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых. Сложение целых неотрицательных чисел не выводит за пределы множества Zo. более того, сумма конечного числа целых неотрицательных чисел снова является целым неотрицательным числом.

Следовательно, произведение целых неотрицательных чисел — это целое неотрицательное число:

а, b є Zo => а • b є Zo.

Этим установлено, что умножение является операцией на множестве Zo.

Коммутативность, ассоциативность и другие свойства умножения

Отображение А х В на В х А, переводящее каждую пару (а, Ь) в пару (Ь, а), является взаимно однозначным отображением на. Следовательно,

ІА х В | = ІВ х А |,

или, иначе говоря,

а • b = b • а,

т. е. умножение целых неотрицательных чисел коммутативно.

Как и для сложения, в русской школе вместо иностранного слова коммутация используют его перевод — перемещение и говорят переместительное свойство.

Каждый элемент ((я, h), с) из множества (А х В) х С может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с элементом (а, (Ь, с)) из множества А х х С)), т. е. мощности этих множеств совпадают:

| (А х В) х СІ = | А х (В х С) |,

значит, умножение целых неотрицательных чисел ассоциативно.

Как и для сложения, в русской школе вместо иностранного слова ассоциация используют его перевод — сочетание и говорят сочетательное свойство.

Не будь ассоциативности умножения, растерянность вызвал бы уже символ я4 (с элементом а3 выручает закон коммутативности). Действительно, скобки в произведении а • а • а • а можно расставить различными способами, например:

я(я(я • я)), (я • я)(я ? я), (((я ? я)я)я),

и только благодаря закону ассоциативности все эти произведения мы можем обозначить од-4

ним символом я .

Ассоциативный закон умножения позволяет говорить о произведении любого числа множителей без расстановки скобок: результат произведения от образования ассоциаций множителей не зависит. В частности, благодаря ассоциативному закону умножения можно ввести понятие степени и писать кратко я" вместо произведения п множителей:

а-а •••а, п

в котором каким-то образом расставлены скобки.

Декартово произведение пустого множества 0 и любого множества А не содержит ни одного элемента:

0хА = 0.

Это означает, что число нуль (мощность пустого множества) обладает аннулирующим (говорят еще поглощающим) свойством для любого числа я:

О • я = 0.

Пусть множество А состоит из одного элемента. Например, А = {я}, тогда, как договорились, | А | = 1. Декартово произведение

А хВ= {(я,/?) | b є В}

и отображение, переводящее каждую пару (я, Ь) в элемент b множества В, являются взаимно однозначным соответствием между элементами множеств А х В и В. Это означает, что мощности множеств А и Ах В совпадают, т. е. для любого множества В

| А х В | = |в|.

Следовательно, единица является нейтральным элементом при умножении (для каждого числа Ь):

Ъ = Ь.

При умножении единичный элемент действует нейтрально, ничего не изменяет. Если 11 — второй нейтральный элемент для умножения, то из равенств

1 • її = 1,1 • П = її

следует 1 = 11. Умножение имеет единственный нейтральный элемент.

Рассмотрим теперь три целых неотрицательных числа a, Ь, с, имеющих представителей А, В, С соответственно. Пусть множество А — непусто, А * 0, а мощности декартовых произведений А х В и А х С совпадают. Покажем, что тогда совпадают и мощности множеств В и С. Другими словами, докажем закон сокращения для умножения:

а b = а ? с и а * О => b = с.

Воспользуемся логическим законом контрапозиции:

->у)<=>(у->х).

Наше утверждение равносильно следующему:

b => а ? b *а ? с или а = 0,

что равносильно:

а/Ои/; /с=>« ? b *а с.

Отношение порядка > для мощностей является связным. Это значит, что если b / с, то h > с, или с > Ь. Пусть для определенности b > с и отображение f является взаимно однозначным отображением множества С на собственное подмножество В] множества В. Рассмотрим отображение # множества А х С на множество А х В, заданное следующим правилом:

g: (а, с) ^(a,f(c)),

где элемент а пробегает все множество А. Отображение g — взаимно однозначно, а образом его будет подмножество А х В. Из того, что В с: В, следует А х В А х В и, следовательно, IА х С | < | А х В |. Для бесконечного множества наличие такого отображения (внутрь) еще не означает строгого неравенства мощностей, но А х В конечно, оно не может быть равномощно собственному подмножеству, неравенство на самом деле строгое: | А х С | # | А х В |, что мы и желали доказать.

Заметим, что по аналогии со сложением (а + b * а, если h * 0) из закона сокращения следует, что для любого ненулевого а и любого неединичного Ъ выполняется неравенство:

а Ъ * а.

Наконец, рассмотрим свойство, связывающее умножение со сложением.

Пусть множества В и С имеют пустое пересечение — В n С = 0.

К закону дистрибутивности

Тогда для любого множества А

А х (В и С) = (А х В) и (А х С), что означает на языке мощностей: сложение и умножение связаны дистрибутивным законом (для каждых целых чисел а, Ь, с):

а • (Ь + с) = а • b + а • с.

1

Слово «дистрибуция» означает «распределение» (более известно его почти однокоренное «контрибуция»). В русской школе вместо иностранного слова пользуются его переводом и говорят «распределительное свойство».

Подведем итоги.

Умножение целых неотрицательных чисел:

  • 1) ассоциативно,

  • 2) коммутативно,

  • 3) обладает нейтральным элементом,

  • 4) обладает аннулирующим элементом,

  • 5) удовлетворяет закону сокращения,

  • 6) дистрибутивно относительно сложения.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >