Рациональных чисел для измерения длины недостаточно

Итак, если мы желаем использовать рациональные числа для измерения длин всех отрезков, то при традиционном измерении (укладывании единичного или долей единичного отрезка по измеряемому отрезку) рациональных чисел недостаточно, так как найдутся отрезки, которые нельзя таким способом измерить никакими сколь угодно мелкими долями единичного отрезка.

Однако существование отрезков, несоизмеримых с единичным, еще не является признаком того, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин всех отрезков.

При традиционном измерении отрезков отрезок, несоизмеримый с единичным, останется без длины. Однако остается надежда попытаться как-то изменить само измерение длины отрезка. Изменить так, чтобы и старые (соизмеримые с единичным), и новые (несоизмеримые) отрезки получили свои длины.

Надежда эта основывается на соображениях о мощности.

Например, натуральных чисел еще более чем недостаточно для измерений — все измерения натуральными числами происходят лишь с точностью до единицы. Однако множество натуральных чисел и множество всех отрезков, соизмеримых с данным единичным отрезком, равномощны. Конечно, такое соответствие между множеством натуральных чисел и множеством отрезков, соизмеримых с единичным отрезком, — это еще не настоящее измерение длины. Однако формально все отрезки с рациональными длинами можно занумеровать натуральными числами, а затем эти номера объявить длинами (правда, не все свойства длины при этом будут выполнены, но это уже другая проблема).

Однако с рациональными числами и множеством всех отрезков этот фокус проделать не удастся. Как ни изворачивайся, как ни пытайся переделать понятие длины, ничего не получится.

Есть непреодолимое препятствие для использования рациональных чисел. Этих чисел всегда будет недостаточно для измерения длин отрезов.

Это препятствие связано с одним свойством прямой, которым система рациональных чисел не обладает и обладать не может.

Свойство это — непрерывность.

Непрерывность

Одна из аксиом геометрии утверждает непрерывность прямой.

Что означают слова «прямая непрерывна»?

Интуитивно ситуация описывается следующими словами: когда мы чертим прямую пером на бумаге, то перо не отрывается от листа ни на миг. Это образное описание нужно теперь заменить точным определением.

Для этого сначала обсудим, что такое разрыв, нарушение непрерывности. Сделаем это с помощью множества рациональных чисел.

Возьмем рациональную числовую ось и выбросим из нее одну точку, например нулевую. В результате мы получим разрыв нашего множества. Разрывность в одной точке означает, что слева и справа мы можем как угодно близко приближаться к этой точке. Если число а > 0, то всегда найдется новое число Ь, расположенное к нулю еще ближе, чем число а:

О < h < а.

Аналогично обстоит дело со стороной, расположенной слева от выброшенной точки.

Это означает, что во множестве {г е Q | х < 0} нет наибольшего элемента, а во множестве {х є Q |л- > 0} нет наименьшего элемента. Множество Q разорвалось в этой точке, образовалась щель.

Правда, в нашем примере разрыв устроен искусственно: выброшенное число нуль — это тоже элемент из Q.

На прямой подобных разрывов (т.е. точечных щелей) нет.

Сейчас определим возможность (и невозможность) разрыва линейно упорядоченного множества более точно.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >