Демографические основы построения тарифов и резервов в страховании жизни и пенсии

Таблицы смертности

Основой для расчетов нетто-премий и резервов в страховании жизни и пенсии служит таблица смертности. Таблица смертности представляет собой числовую модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей.

Показатели численности определяются в таблице последовательным путем:

h —1о~йо, ^x+i ~lx~ dx >

где lx - число доживших до возраста х лет;

dx - число умерших в течение года после возраста х лет.

Табличные характеристики числа умерших dx вычисляются с помощью вероятности умереть в возрасте х лет qx:

do = h Чо, dx = 1Х Чх •

Исходным показателем при построении таблицы смертности является qx. Вычисление вероятности умереть в определенном возрасте осуществляется за пределами таблицы. В настоящем учебном пособии использованы данные Федеральной службы государственной статистики (ФСГС).

Вероятность умереть в течение года для лица в возрасте х лет:

4x=l-px=l-l-f-

I V

1х-1

d_ I

а в возрасте от х до х + п:

/ 1-1 1

„ _ / „ _ j 1X + /1 _ Л * Х + И _ 1 у д

I I ~ I ? j

1 1 v *v /=Y

Вероятность прожить n лет и умереть в следующем году составит:

Я|«?

Вероятность умереть в возрасте между х+иих+и+m лет

находится, как:

_ х+п х+п+т

пт х х ~ .

1X

Таблица смертности позволяет получить вероятность дожития до любого возраста, которая является одним из ключевых элементов в расчетах по страхованию жизни и дополнительной пенсии.

Вероятность прожить, по крайней мере, еще один год лицу в возрасте х лет составит: а вероятность дожить до возраста х + п равна: где п - число лет предстоящей жизни.

Коммутационные функции

Для сокращения записи формул и существенного уменьшения трудоемкости выполнения расчетов, связанных с личным страхованием, были предложены так называемые

коммутационные функции (коммутационные числа). Эти функции делятся на две группы. В основу первых положены числа доживающих, в основу вторых - числа умерших. И те, и другие рассчитываются в таблице смертности.

Обязательным элементом коммутационной функции является дисконтный множитель (отражающий изменение цены денег), который рассчитывается следующим образом:

у' =-----

(7 + i)» '

где i - годовая ставка сложных процентов (техническая, заложенная в расчеты, норма доходности);

п - срок, за который производится дисконтирование.

Основными в первой группе являются коммутационные числа Dx и Nx. Они определяются следующим образом:

Dx =lx vx, NX = YDJ ,

j=X

где w - предельный возраст, до которого составлена таблица смертности.

Из вышеприведенных формул следует:

NW = D„, N„_,=N„ + D„_,,

w

A=JVX+/ + PX, ^X+„=YDJ-j-x+n

Иногда для упрощения расчета необходимо знать сумму коммутационных чисел Dx за некоторый возрастной интервал: от х до x+t. Тогда используется функция Nx:

x+t

^Dj=Nx-NxwI.

j=x

Наиболее важными представителями коммутационных функций второй группы являются функции Сх, Мх, Rx. Величина Сх представляет собой дисконтированное число умерших в возрасте от х до х + 1:

Cx=dx vx+1,

где dx - число умерших в возрасте от х до х+1, определяемое по таблице смертности,

v - дисконтный множитель по принятой процентной ставке.

Поэтому:

Сх = dx =(/х -lx+l)vx+' =1Х vx v-lx+l =» Dx-Dx+I.

Причем для x=w:

Сумму чисел С/ обозначим, как Мх: и»

j=x

Значение Мх вычисляется рекуррентно, начиная с предельного возраста:

м„=С„-, м№_, = м№ + с№_1; мх = м xt, + с,.

В страховой литературе часто применяют следующее преобразование, позволяющее получить Мх через

мх ~сх х+1 + - + CW — (y-Dx - Dx+1)+(y- Dx+1 -Dx+2) + + ••• + (у • Dw_i -D^+v Dw =v-Nx- Nx+1

326

Практикум

Коммутационная функция Rx представляет собой сумму чисел Мх:

W

R =Ум.

* J ‘

j=x

Коммутационные функции трудно непосредственно интерпретировать содержательно. Их надо воспринимать, как технические, вспомогательные величины. Однако, если предположить, что каждому из 1Х человек (доживших до возраста х) выплачивается по 1 рублю, то Dx можно рассматривать как современную величину суммы 1Х, уплачиваемой через х лет. В свою очередь, - современная величина последовательности платежей lx, lx+i,lw рублей.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >