ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Все задачи познания природы приводят к измерениям геометрических и физических величин. Измерение величин является важнейшей частью и школьного курса математики.

Одно из основных измерений — это измерение длины отрезка (или длины дуги окружности — так совсем недавно выглядели шкалы почти всех измерительных приборов).

Целых неотрицательных чисел оказалось вполне достаточно для счета, т.е. изучения мощностей конечных множеств. Кроме счета в реальной жизни требуется измерение — сравнение объекта с некоторой мерой.

Например, мера длины — единичный отрезок, мера массы — масса эталона, мера угла — центральный угол некоторой части окружности, мера времени — один период некоторого периодического процесса и т.п.

В каждом случае удастся произвести измерение с помощью целых неотрицательных чисел лишь тогда, когда мера укладывается в измеряемом объекте целое число раз.

Если это не так, то возникают чисто логически две возможности:

  • 1) для некоторой /я-й части основной мерки (маленькой мерки) число маленьких мерок в измеряемом объекте целое;

  • 2) ни для какой m-й части основной мерки число маленьких мерок в измеряемом объекте не является целым.

В первом случае измерение снова будет произведено точно, но с помощью не исходной меры, а какой-то ее части.

Во втором случае будет произведено измерение лишь с точностью до величины маленькой мерки (т.е. если измеряемая величина и отличается от полученного значения, то не более чем на маленькую мерку).

Именно по этой причине рациональных чисел недостаточно для точного измерения длин отрезков, но действительных чисел для этой цели уже хватило.

Кроме длины, даже в начальном курсе математики приходится измерять и другие величины: площадь, объем, массу, время и т.д. Не придется ли снова и снова расширять множество действительных чисел для точного измерения этих и других появляющихся величин?

Другими словами, достаточно ли системы действительных чисел для измерения всех величин?

Измерение и равновеликость

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо знать, что такое величина и что такое измерение.

Если/— отображение множества А на множество В, то в некоторых случаях говорят, что элементы из А измеряются элементами из В. Элементы из В тогда называют величинами, af(a), образ элемента а, — значением величины элемента а.

Как обычно, при отображении бинарное отношение «иметь равный образ при отображении» является отношением эквивалентности, которое разбивает множество на смежные классы (являющиеся полными прообразами элементов из В). Если отображение является величиной, то эту эквивалентность называют отношением равновеликости', два элемента из одного класса равновелики.

Отношение эквивалентности, заданное на множестве А, разбивает это множество на смежные классы и задает, по существу, отображение, переводящее каждый элемент из А в свой класс. Любое отображение (в том числе и измерение) является таковым, и, таким образом, измерение — это частный случай построения фактормножества А.

Первым и исключительно важным примером такого рода отображения А^В было понятие мощности. Второго множества, а именно множества В, при определении мощности не потребовалось: само множество смежных классов по отношению равномощности и явилось множеством образов.

Если отображение множества А является измерением, то, по существу, измеряется множество А своим фактормножеством. Однако не каждое отображение принято называть измерением (и поэтому не всегда смежные классы по эквивалентности на А называют величинами). В частности, отображение множества на свою мощность (т.е., образно говоря, измерение числа элементов во множестве) измерением называть не принято.

В каких случаях отображение одного множества на другое называют измерением!

Ответ на вопрос, является ли отображение f: А^В измерением, зависит от свойств трех объектов'.

  • 1) множества А;

  • 2) множества В

  • 3) отображения/.

Иначе говоря, для того чтобы говорить об измерении, множество измеряемых объектов А должно обладать определенными свойствами, особые свойства необходимы и множеству величин В, и, наконец, отображение / сопоставляющее элементам а из А их величину Да), тоже далеко не произвольно.

Что же объединяет множества в примерах таких традиционных величин, как длина, площадь, объем? Какими особыми свойствами обладает множество величин? Что особенного в отображении множества измеряемых объектов на множество величин?

Ответам на эти вопросы и посвящен раздел.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >