Свойства функции «Измерение»

Напомним, что слово «функция» двусмысленно. Когда пишут у =/(х) и говорят, что у — это функция X, то под словом «функция» имеется в виду не только значение у (зависимое от аргумента х), но и сама зависимость f.

Следуя этой традиции, отображение / также называют величиной, а из-за особых свойств/— скалярно-аддитивной непрерывной величиной.

Опираясь в первую очередь на геометрические примеры (длина, площадь, объем), а также общие свойства системы измеряемых объектов и системы величин, можно указать основные свойства скалярно-аддитивной непрерывной величины/.

Если х, у из множества А конгруэнтны, то их образы при отображении/совпадают:

х~у^/(х)=».

Это свойство, означающее согласованность конгруэнции ~ и отображения/, принято называть инвариантностью.

Инвариантность превращает конгруэнтность на множестве измеряемых объектов (а конгруэнтность — это обобщение равенства) в чистое равенство.

Отображение/сохраняет операцию сложения (для любых элементов х, у из А):

/(х + У) =/W +/(>')•

Знак + в этом равенстве употребляется два раза в разных смыслах: слева (х + у) — это частичное сложение во множестве измеряемых объектов А, а справа /(х) +/(у) — это всюду определенная операция во множестве величин В.

Сохранение операции сложения принято называть аддитивностью.

На рисунке изображена аддитивность отображения/.

измеряемых величин объектов

Измерение аддитивно

Порядок -< на множестве А с операцией сложения + связаны между собой:

А ч /? <=> (Зх є М)[а + х = /?].

Точно такая же связь между порядком < и сложением + во множестве величин.

Если а + х = Ь, то из аддитивности следует f(a + х) =/(а) +/(х), и, следовательно, х -< у влечет/(х) порядок.

Если множеством величин с самого начала названо множество положительных действительных чисел R+, то, вообще говоря, необязательно требовать, чтобы / было отображением НА, т.е. считать, что Ey=R+. Достаточно потребовать, чтобы единица попала в область значений/: 1 є Ef.

Это свойство отображения/принято называть унитарностью.

Множество положительных действительных чисел R+ является непрерывным, поэтому свойство / «быть отображением НА все R+» принято называть непрерывностью отображения/. Итак,/непрерывно, если Ef = R+.

1

От лат. additivus — прибавляемый.

Свойство непрерывности отображения/означает, что чем точнее будет произведено измерение, тем точнее будет полученный результат. Другими словами, если мы желаем, чтобы значения /(х) и /(у) отличались друг ото друга не более чем на какое-то число а нужно лишь, чтобы элементы х и у находились достаточно близко.

Например, если х < у vif(x) то для каждого элемента b из В найдется элемент а в А такой, что:

х + а>у =>f(x) + h >fiy).

Отображение / обладающее перечисленными свойствами, обычно называют аддитивным отображением (инвариантность подразумевается сама собой, сохранение порядка следует из аддитивности, а непрерывность следует из унитарности).

Однако одной аддитивности/недостаточно для того, чтобы называться измерением. А вдруг существует несколько отображений/с перечисленными свойствами, какое из них мы должны выбрать?

Самим возникновением геометрия обязана задачам измерения площадей полей. Если бы существовало несколько функций со свойством площади, то легко догадаться, какой завесой секретности была бы скрыта такая ситуация и как зависел бы выбор формулы для вычисления площади поля от материального достатка (или властных возможностей) владельца измеряемого имущества.

В таком случае аксиомы геометрии затрагивали бы материальные интересы и наверняка бы являлись причиной кровопролитных войн. К счастью, этого не случилось, хотя в течение столетий для измерения площадей иногда использовались неверные формулы. Например, в Египте довольно долго считалось, что площадь треугольника равна половине произведения двух его меньших сторон.

Чтобы называться измерением, отображение должно быть в некотором смысле единственным.

Аддитивное отображение /является измерением, если оно единственно с точностью до постоянного множителя из множества величин.

Точнее говоря, единственность означает, что если /, g — два аддитивных отображения А в В, то найдется такой элемент к из В, что/(«) = kg-(a) для всех элементов а из А.

Пусть к — элемент из множества величин В, связывающий два измерения /, g, и g(a) = х, g(b) = у.

Тогда:

/(а) = k-x,f(b) = к у.

Аддитивность g означает, что:

g(a + Z>) = g(a) + g{b

а аддитивность/:

/(« + /?) =/(«) +/(/?).

Кроме того:

/(« + /?) = k-g(a + b) = k{g(a) + g(b)).

Отсюда:

к-(х + у) = к-х + к-у.

Последнее тождество (дистрибутивный закон) выполняется для любого числового поля, но первоначально в свойствах системы величин его не было.

Рассмотрим отображение xt-^k-x, где х пробегает все множество В, а элемент к не изменяется. Закон дистрибутивности означает, что это отображение сохраняет операцию сложения на множестве величин:

если х к х и у ? > к -у, то (х + у) н-> к {х + у).

Таким образом, с точки зрения операции сложения (а следовательно, и порядка) множества В и {k-b I b є В} различаются лишь обозначением своих элементов (в одном элементы Ь, в другом — к-b). В математике такие объекты принято называть изоморфными, т.е. имеющими равные формы. Единственность аддитивного отображения означает, что отображение at->ka является изоморфизмом системы величин на себя.

В начальном курсе математики эта ситуация отражается наблюдением, что отношение двух численных значений величин одного рода не зависит от выбора единиц измерения.

Единственность измерения означает, что если в системе положительных скалярных величин В выбрать какую-либо величину / за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде b = к-1, где к — некоторый элемент из В.

Подведем итоги, перечислив (может быть, с избытком) свойства измерения. Отображение f системы измеряемых объектов во множество величин называют измерением, если оно:

  • 1) инвариантно;

  • 2) аддитивно;

  • 3) сохраняет порядок;

  • 4) унитарно;

  • 5) непрерывно;

  • 6) единственно с точностью до постоянного множителя.

Некоторые из этих свойств можно получить как следствие из остальных, поэтому в конкретных случаях обычно довольствуются значительно меньшим набором свойств/.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >