Связь между измеряемыми объектами и результатами измерения

При измерении величин каждому элементу х из множества измеряемых объектов А сопоставляется некоторое значение /(х) положительной скалярной величины из множества В. При этом отображении выполняются естественные соотношения между измеряемыми объектами и результатами измерения.

Общие свойства множеств А, В и отображения f рассмотрены в предыдущем параграфе. Сейчас (чтобы не делать постоянных оговорок) под положительной скалярной величиной будем понимать положительные действительные числа, т.е. будем считать, что В = R+. Напомним, что отображение/сохраняет сложение, т.е. аддитивно.

Каждое отображение/: А— наводит эквивалентность S на множестве В. Это отношение равнообразности:

aSh of(a)=f(b).

Так как/(а) — это величина элемента а, отношение равнообразности в случае измерения принято назвать отношением равновеликости. Точнее говоря, два элемента а, b равновелики, если fla) =f(b).

Инвариантность отображения / означает, что отношение равновеликости является следствием отношения конгруэнтности на множестве измеряемых объектов:

a~b =>f(a) =f(b).

На теоретико-множественном языке последнее замечание выглядит так: ~с S.

Выберем во множестве измеряемых величин какой-нибудь элемент е и назовем его единицей измерения. Тогда в силу единственности измерения каждому элементу из А ставится в соответствие число к такое, что:

/(«) = W)-

Число к принято называть мерой элемента а при единице измерения е. Обозначим его символом те(й):

к - те(р).

Из свойства задания отображения с точностью до постоянного множителя следует, что значение те(а) не зависит от выбора отображения, а зависит только от элементов а и е.

Пусть s — другая единица измерения. Тогда ш/й) — мера элемента а при единице измерения s.

Теперь:

те(а) = me(s)ms(a).

Это равенство показывает связь между операцией умножения величин и переходом к новой единице измерения.

Пусть а, b — два элемента из множества А измеряемых объектов. Говорят, что а и b равносоставлены, если во множестве А найдутся такие элементы d, d2, ..., d,„ что:

а = ci + сэ + • • • + сп; b = d + d^+ ... + dn мс~ d,C2~ di, c„~ dn.

Напомним, что операция сложения (+) ассоциативна и коммутативна, поэтому ее результат не зависши от порядка множителей и расстановки скобок и, следовательно:

/(«) =/(С1) +/(с2) + ... + (с„) =Ж) +Ж) + ... + Ш =flb).

Таким образом, равносоставленные элементы равновелики.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В геометрическом примере оно выполняется лишь для отрезков. Плоские равновеликие фигуры и равновеликие тела в пространстве не обязательно являются равносоставленными.

Отношение равносоставленности является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т.е. эквивалентностью.

Итак, на множестве измеряемых объектов уже три эквивалентности: исходная конгруэнция, равносоставленность и равновеликость. Каждая новая эквивалентность является продолжением другой.

Равновеликость

Равносоставленность

Конгруэнция

Эквивалентности на множестве измеряемых объектов

Это значит, что смежный класс по равносоставленности состоит из нескольких полных классов по конгруэнции, а смежный класс по равновеликости — из нескольких смежных классов по равносоставленности.

На множестве измеряемых объектов есть и четвертая представляющая интерес эквивалентность.

Элементы а и b называют соизмеримыми, если:

а = с + С2+ ... + ст-, b= d + с/т + ... + dn и Ci ~ С2~ ... ~ ст - d - d2~ ...~ dn~ d.

Элемент d в таком случае называют общей мерой элементов а, Ь.

Исторически так случилось, что наибольший интерес вызвало открытие несоизмеримых отрезков, т.е. отсутствие общей меры длины. Существование фигур без общей меры площади и тел без общей меры объема является простым следствием существования пары несоизмеримых отрезков.

Отношение соизмеримости является отношением эквивалентности. Конгруэнтные фигуры соизмеримы, т.е. конгруэнтность — это наименьшая эквивалентность среди рассматриваемых отношений (меньше ее только равенство).

Фигуры, одновременно соизмеримые и равновеликие, являются равносоставленными, следовательно, отношение равновеликости является следствием пересечения соизмеримости и равновеликости. Соизмеримые объекты не обязательно равновелики, а равновеликие и равносоставленные не обязательно соизмеримы.

Если а - Cl + С2 + ... + Ст, где С| ~ С2 ~ ~ Ст ~ С, ТО/(<я) = nf(c).

Элемент с принято называть п-й долей элемента а. Из свойств измерения следует, что т-я доля элемента а не конгруэнтна п-й доле этого же элемента, если п * т.

Пусть b является п-й долей элемента а, а элемент с — т-я доля элемента Ь. Сразу из определения следует, что с — тп-я доля элемента а, и /(а) = mnf(c).

Если элемент а соизмерим с единичным элементом е, то значение ше(а) является рациональным числом.

Обозначим символом А) множество всех элементов, соизмеримых с е. Тогда отображение/: А|—>Q+ обладает всеми свойствами аддитивного отображения, причем является единственным отображением, при котором f(e) = 1.

Вычисление /(«), организованное таким способом, называют непосредственным измерением на множестве А].

Непосредственное измерение определено только на подмножестве Ai множества А. Однако, используя любую арифметическую интерпретацию системы действительных чисел, например, интерпретируя R как множество сечений на множестве рациональных чисел, непосредственное измерение можно распространить на всю область определения отображения/.

Возможность такого распространения мы рассмотрим чуть позже на конкретных примерах: длине отрезка и площади фигуры.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >