Непосредственное измерение площади

Расширение основано на общем для понятия величины методе непосредственного измерения. Следуя этой методике, нужно определить сначала некоторое множество фигур, имеющих рациональные площади, а затем, используя арифметическую интерпретацию действительных чисел в виде сечения на множестве Q, перейти к описанию всего множество квадрируемых фигур.

Некоторое множество фигур с рациональными площадями уже появилось — это множество клетчатых фигур.

Взяв клетчатую фигуру в виде прямоугольника со сторонами 1, а (где а — произвольное рациональное число), обнаруживаем, что множество рациональных неотрицательных чисел полностью находится в области значений нашей, пока еще нс достроенной S.

Покажем, что это утверждение можно значительно усилить, а именно: если Ф — произвольная клетчатая фигура и площадь ее равна а, то для любого рационального числа Ь, меньшего а, найдется клетчатая фигура Ф такая, что Ф с Ф и 5(Фі) = b.

Пусть а= — и Ь = —. Тогда:

П V

т-п- v2

тг


, u-v-n2


Но эти два равенства означают, что если фигура Ф является объединением m-n-v2

1 2

квадратиков со стороной, равной —, то в качестве фигуры Ф можно взять u-v-n таких

nv

квадратиков (на рисунке квадратик со стороной, равной —, выделен белым цветом).

nv

nv

1

1

X

Маленький

nv

белый квадратик


Так как u-v-n2 < m-n-v2, клетки фигуры Ф можно выбрать из клеток фигуры Ф.

Аналогичным образом можно указать для клетчатой фигуры Ф фигуру Ф2, содержащую фигуру Ф и имеющую своей площадью любое рациональное число, большее 5(Ф).

Перейдем теперь к определению квадрируемости для произвольных плоских фигур. Пусть нам дана плоская фигура Ф.

Если фигура Ф| является подмножеством фигуры Ф, то скажем, что Ф| — внутренняя для Ф. Аналогично если фигура Ф является подмножеством фигуры Ф2, то скажем, что Ф2внешняя для Ф.

Площадь является измерением и поэтому сохраняет отношение порядка. Следовательно, площадь любой внешней фигуры не меньше площади любой внутренней фигуры (равенство будет достигаться лишь в случае, когда внешняя и внутренняя фигуры совпадают, тогда они обе совпадают с фигурой Ф).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >