Измерение площадей

Как для любых величин, площадь можно измерить непосредственно. Под непосредственным измерением имеется в виду вычисление значения площади клетчатых фигур, а если фигура неклетчатая, то организация сечения на множестве рациональных чисел. В случае существования рубежа фигура квадрируема и рубеж (иррациональное или рациональное число) и будет площадью.

Методом непосредственного измерения была получена формула для вычисления площади квадрата, а затем аналогичная формула для прямоугольника.

В средних классах с помощью непосредственного измерения вычисляется площадь круга.

Основной способ вычисления площади в начальном курсе математики, т.е. вычисление с помощью палетки, тоже является непосредственным (но приближенным) измерением.

Фактически при определении квадрируемости фигуры Ф мы рассматриваем все приближения по недостатку и все приближения по избытку числа 5(Ф). В реальности, однако, можно рассматривать лишь некоторые особые представители таких приближений, например, как при доказательстве квадрируемости квадрата и прямоугольника.

Манипуляции с палеткой имеют ту же природу: при поисках площади 5(Ф) (которая может и не существовать) используются особые представители нижнего и верхнего классов сечения.

Итак, наложим палетку, т.е. квадратную сетку, фигуру Ф. Пусть Ф — внутренняя клетчатая фигура максимальной площади, полученная с помощью палетки, а Ф? — внешняя минимальной площади.

1

А так как все многоугольники квадрируемы, то для ускорения процесса можно рассматривать внутренние и внешние многоугольные фигуры.

Разделим стороны каждого квадрата палетки на равные части, и таким образом сделаем сетку более мелкой. Первоначально попавшие квадраты в фигуру Ф так и останутся в Фі; кроме них при переходе к меньшим квадратикам, возможно, присоединятся и другие, т.е. площадь фигуры Ф при уменьшении длины сетки не уменьшается. Аналогичным образом при уменьшении стороны сетки некоторые квадраты фигуры Фо, возможно, соскользнут с фигуры Ф и их придется исключить из фигуры Ф1. В любом случае в новой фигуре, покрывающей фигуру Ф, не появится новых квадратиков, т.е. при уменьшении длины стороны сетки площадь внешней фигуры не увеличивается.

Но это значит, что площадь клетчатой границы не увеличивается, т.е. при уменьшении сетки палетки площадь фигуры, вообще говоря, будет вычислена точнее.

Если эта точность ничем не ограничена, т.е. фигура Ф квадрируема, то она достигается и с помощью палеточного измерения. Если же фигура Ф неквадрируема, то никакая палетка уже не поможет: с какого-то момента разность между площадями внешней и внутренней фигуры (возможно, и бесконечно уменьшаясь), несмотря ни на какое дробление палетки, не сможет быть сделана меньше некоторого числа.

Фигура с полностью видимой границей квадрируема. Дело в том, что для квадрируемости достаточно, чтобы граница фигуры была спрямляема, т.е. имела конечную длину. Все фигуры, ограниченные конечным числом отрезков и дуг окружностей, эллипсов, гипербол, парабол и т.п. (т.е. практически все фигуры элементарной геометрии), как раз такие: их границы спрямляемы, а сами фигуры квадрируемы.

Однако квадрируемая фигура может быть ограничена неспрямляемой кривой. Возьмем, например, фигуру Ф2, являющуюся объединение квадрата со стороной 1 и треугольников с высотой 1 и основаниями:

  • 111 1
  • 2’4’ 8’"’’ 2"

Граница фигуры Фэ бесконечна, т.е. неспрямляема.

Фигура Ф2квадрируема

Площадь 5(Фі) нетрудно вычислить, используя формулу площади треугольника и формулу суммы членов бесконечной геометрической прогрессии: ф

5 = I2 +-L. + = 1 + 1—^ = 1,5.

  • 2 U 4 J 2

2

Рассмотрим более экзотическую фигуру.

Пусть даны четыре точки AEFD, являющиеся вершинами прямоугольника. Тогда существует ломаная, имеющая вид приблизительно как на рисунке, такая, что ее вертикальные ребра могут быть расположены сколь угодно близко друг к другу.

Такую ломаную (соединяющую точки А и D) можно определить только генетически, т.е. в процессе рождения. Рождение этой ломаной напоминает запись траектории движения без самопересечений броуновской частицы, наблюдаемой через непрерывно уменьшающиеся интервалы времени, поэтому такую ломаную назовем броуновской линией'.

Фигура Фі неквадрируема

Возьмем теперь ломаную ABCD, соединим (разумеется, теоретически) точки AD броуновской кривой, проходящей через точки прямоугольника AEFD, и получим неквад-рируемую фигуру Ф. При измерении площади Ф (например, с помощью палетки) площадь границы всегда будет не меньше половины площади прямоугольника, по которому проходит необычная кривая.

Заметим, наконец, что может случиться и такая ситуация, когда с помощью формулы площадь вычисляется быстро и точно, в то время как палетка даст лишь приближенный результат.

Например, ученик четвертого класса, решая задачу из начального курса математики о вычислении площади трапеции, с уже наложенной на нее палеткой получит приближен-_ 15 _

ное значение 5+ — -12,5.

Трапеция из школьного учебника

1

Подробней рассмотрим броуновскую линию и еще более впечатляющую ломаную — кривую Пеано — в разделе, посвященном размерности (глава 5).

То, что это лишь приближенное значение, проверяется с помощью формулы для вычисления площади трапеции. Вычислим площадь той же трапеции по формуле, получаем 5,5 + 2,5

точное значение------3-12.

2

Два способа измерения площади основаны на свойстве равносоставленности.

Из инвариантности и аддитивности площади следует, что равносоставлені іьіе фигуры имеют одинаковые площади, т.е. равновелики. На этом свойстве основан способ вычисления площадей, называемый методом разбиения.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >