Преобразования плоскости и пространства

При решении задач на построение одним из основных методов является метод преобразований. Особым преобразованием пространства является изображение пространственных фигур на плоскости. Понятие геометрического равенства тесно связано с движениями — тоже видами преобразований. Эти и другие обстоятельства заставляют обсудить свойства преобразований чуть подробней, чем это делается обычно в школьном курсе математики.

Преобразованием множества М называют любое отображение f этого множества в себя,/: М —> М.

Плоскость или пространство — это множество точек, и, например, преобразование плоскости L — это функция / определенная на L со значениями в L. Функция f ставит в соответствие каждой точке X некоторую точку У, т.е./(У) = У.

Последовательное выполнение преобразований/и g называют произведением-.

/°g(y)=g(/(y)).

Произведение преобразований является преобразованием того же множества. Умножение преобразований ассоциативно, а тождественное преобразование Е, оставляющее каждую точку неподвижной, играет роль единицы. Кроме того, если преобразование/взаимно однозначно, то обратное соответствие /-' тоже является преобразованием на том же множестве.

Рассмотрим наиболее важные для школьного курса математики преобразования плоскости и пространства.

Так как любая геометрическая фигура — это подмножество пространства (или плоскости), одновременно с преобразованием пространства будет преобразовываться и множество фигур (а иногда и отдельно взятая фигура, если образ этой фигуры является ее же подмножеством).

Особую роль играют преобразования, сохраняющие какое-то свойство фигур (например, расстояние, углы, ориентацию, направленность или сонаправленность и т.п.). Независимо от того, какое это будет свойство, тождественное преобразование Е заведомо сохранит любое свойство, а произведение преобразований, сохраняющих свойство, тоже будет сохраняющим это свойство.

Преобразование, сохраняющее расстояние, называется движением.

Движения плоскости

Движение — это преобразование пространства, сохраняющее расстояние между двумя точками.

Точнее говоря, преобразование / является движением, если для любых точек А, В длины отрезков АВ и f(A)f(B) равны.

Произведение движений — снова движение. Движение — взаимно однозначное преобразование; и преобразование, обратное движению, снова является движением. Тождественное преобразование Е — это тоже движение.

Пусть АВ — направленный отрезок. Преобразование / называется параллельным переносом на вектор АВ, если для каждой точки X направленный отрезок X /(%) имеет такую же величину и направление, что и АВ (т.е. векторы АВ и X f{x) равны).

Если X, У — две произвольные точки, то точки X, У,/(У),/(У) лежат в одной плоскости и являются вершинами параллелограмма. Поэтому отрезки XY nf(Y) f(X) равны.

1

Обычно параллельный перенос на вектор АВ обозначают символом Г—-

Параллельный перенос

Параллельный перенос сохраняет длину отрезка и поэтому является движением.

Рассмотрим еще два преобразования плоскости.

ЛЧ

Вращение

Преобразование f называют вращением (или поворотом) вокруг данной точки О на данный угол а, если/(О) = О, а для каждой точки X, отличной от О:

ОХ = Of{X) и XXOfQO) = а.

Вращение вокруг центра О на угол а обозначают символом .

Если X, У — две произвольные точки, то треугольники ЛОХУ и ЛО/(У) (X) имеют по две равных стороны и равному углу, заключенному между ними, и, следовательно, равны. Поэтому отрезки ХУ и f (Y)f(X) равны.

Вращение является движением.

Вращение на угол 180° называется центральной симметрией.

Преобразование f называют (осевой) симметрией в оси а, если для каждой точки X, принадлежащей данной прямой а, /(X) = X, а для всех остальных точек отрезок Х/(Х) перпендикулярен прямой а и делится точкой пересечения с а пополам. Осевую симметрию с осью а обозначают символом Sa.

Любой отрезок, лежащий на оси симметрии, остается на месте, и, естественно, его длина сохраняется. Пусть X — произвольная точка плоскости, не принадлежащая оси, а точка У лежит на оси а симметрии /. Тогда У при симметрии остается на месте и треугольники ЛСУХ и АСУ /(У) равны как прямоугольные с двумя равными катетами. Поэтому отрезки ХУ и /(У)/(Х) равны. Общий случай, когда У находится не на оси симметрии, сводится к этому частному случаю.

На рисунке изображены соответствующие треугольники (точка А всегда остается на месте).

Осевая симметрия

Таким образом, в любом случае длина отрезка при симметрии сохраняется.

Осевая симметрия является движением.

Произведение двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельным переносом, а с непараллельными — вращением.

Произведение осевой симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии, называют скользящей симметрией. Так как вектор переноса может быть и нулевым, можно считать, что любая осевая симметрия является скользящей.

Пусть на плоскости дан треугольник АВС и задано направление обхода его сторон (например, на рисунке — по часовой стрелке).

Движение f плоскости переведет этот треугольник в ЬА'В'С Треугольники ДАВС и A/l'5'С' будут равны, но направление обхода их сторон может измениться. Если направление обхода не меняется, то говорят, что f сохраняет ориентацию, а движение называют собственным (или движением первого рода). Не сохраняющее ориентацию движение называется несобственным (или движением второго рода).

Произведение любого числа движений, сохраняющих ориентацию, снова сохраняет ориентацию. Если в этом произведении встречается нечетное число множителей, изменяющих ориентацию на противоположную, то в результате ориентация будет изменена.

Параллельный перенос и вращение сохраняют ориентацию, а осевая симметрия — нет. Поэтому произведение любого числа параллельных переносов и вращений будет движением первого рода, а произведение каждого движения первого рода и одной осевой симметрии является движением второго рода.

Ориентированный треугольник

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >