Задание движения на плоскости. Теорема Шаля

Если известны две вершины треугольника, длины его сторон и полуплоскость, в которой находится третья вершина, то эта третья вершина определяется единственным образом.

Это значит, что собственное движение плоскости полностью задается начальным и конечным положением двух точек. Точнее говоря, если/— движение первого рода и на плоскости обозначены четыре точки: A, B,f(A),f(B), то для любой другой точки X на этой плоскости можно указать (и даже построить с помощью циркуля) точку/(X).

Треугольник XYf(X) равнобедренный

Двух точек достаточно и для задания несобственного движения. А если нет информации, какое именно движение плоскости состоялось, то для нахождения образа любой точки достаточно знать начальное и конечное положение хотя бы одного треугольника.

Пусть / — некоторое собственное движение плоскости, А, В — различные точки этой плоскости и:

/(а) = А',

/(В) = S'-

Если отрезки АА' и ВВ' окажутся равными и параллельными, то А' и В' являются образами А, В при параллельном переносе на вектор АА'. Но так как начальное и конечное положение отрезка и род полностью задают движение, это значит, что/и есть этот параллельный перенос.

Если отрезки АА' и ВВ' параллельны, но не равны.

Если АВ и А'В' лежат на одной прямой, то преобразование /является вращением вокруг середины О отрезка АА' на угол 180°.

Отрезок А'В' — результат вращения отрезка АВ

Если же АА' и ВВ' параллельны, но не равны, а отрезки АВ и А'В' не лежат на одной прямой, то прямые АВ и А'В' пересекаются в одной точке О и/является вращением вокруг точки пересечения прямых АВ и А'В' на угол ААОА'.

Если же отрезки АА' и вв’ не параллельны, то срединные перпендикуляры этих отрезков пересекаются в некоторой точке О и преобразование f снова является вращением вокруг точки О на угол глОА'.

Каждое собственное движение плоскости является параллельным переносом или вращением.

Пусть теперь/— несобственное движение плоскости. Устроим произвольную симметрию Sa; тогда произведение saof = g является собственным движением, т.е. параллельным переносом или вращением. Но тогда:

Sa°(S«°g)=Sa°g>

а из ассоциативности следует:

(•$« = °g>

откуда:

E°f = Sa °& т-е- f = Sa°g-

Каждое несобственное движение плоскости является произведением произвольной осевой симметрии и параллельного переноса или поворота.

Пожертвовав произвольностью симметрии в последнем утверждении, можно уточнить второй множитель g.

Итак, пусть снова /— несобственное движение плоскости и f(A) = A', /(в) = В'. Если векторы АВ и А'В' равны, то искомая ось симметрии параллельна прямым АВ и А'В' и находится между ними (в частности, если отрезки АВ и А'В' лежат на одной прямой, то эта прямая и есть ось симметрии).

Если векторы АВ и А'В' противоположны, то ось скользящей симметрии перпендикулярна этим векторам.

Пусть прямые АВ и А'В' не параллельны и имеют точку пересечения О. Если точка В' лежит между О и А', то искомая ось параллельна биссектрисе р угла ЛАОА'. В противном случае ось параллельна биссектрисе угла, смежного с ZAOA'. Эти два случая изображены на рисунке.

Нахождение оси а скользящей симметрии

Каждое несобственное движение плоскости является скользящей симметрией.

Таким образом, каждое движение плоскости — это либо параллельный перенос, либо вращение, либо скользящая симметрия.

В честь автора это утверждение называют теоремой Шалях.

Произведение двух симметрий с непараллельными осями образует вращение (центр вращения — это точка пересечения осей симметрии). Параллельный перенос можно представить в виде композиции двух симметрий с параллельными осями (можно считать, что параллельный перенос — это тоже вращение с бесконечно удаленным центром вращения). Иначе говоря, группа движений плоскости порождается осевыми симметриями. Теорема Шаля означает, что при порождении каждого элемента этой группы может участвовать не более трех симметрий. При двух участниках получается движение первого рода, а при трех — второго рода.

Аналогичным образом обстоит дело с движениями пространства. Собственные движения пространства — это параллельные переносы, вращения вокруг оси или произведения вращения с переносом вдоль оси вращения (винтовое движение).

Несобственное движение пространства — это либо симметрия в плоскости, либо произведение симметрии в плоскости на вращение вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, либо произведение симметрии в плоскости и параллельного переноса параллельно этой плоскости.

Пусть Ф — произвольная плоская фигура. Все движения плоскости, переводящие фигуру Ф на себя, иногда называют симметриями фигуры Ф. Чем больше таких движений, тем фигура симметричнее. Например, разносторонний треугольник имеет только одно сохраняющее движение — тождественное, оставляющее треугольник на месте. У равнобедренного треугольника уже два преобразования, а у равностороннего — шесть.

Вообще у произвольного правильного «-угольника найдется п различных вращений, переводящих этот многоугольник на себя, и п различных симметрий с таким же свойством (все симметрии можно получить, умножив все вращения на какую-нибудь одну симметрию).

Самой симметричной фигурой представляется окружность. Это действительно так: у нее континуальное множество вращений и континуальное же множество симметрий.

Движение переводит треугольник в равный ему треугольник. Поэтому движение сохраняет не только расстояние, но и величину углов.

Для практики может представлять ценность и преобразование, сохраняющее лишь величину углов. Такое преобразование называют конформным . Конформное отображение сферы на плоскость позволяет пользоваться плоским изображением земного глобуса. На этом изображении не будет общего масштаба для расстояний, но все углы будут точно такие же, как в действительности. Именно такая карта необходима для практического использования компаса. Кстати, и расстояния первоначально мореплаватели, по существу, измеряли в градусах: морская миля (1 852 м) примерно соответствует одной угловой минуте центрального угла окружности, центр которой совпадает с центром земного шара.

Движение взаимно однозначно; оно переводит прямую в прямую, окружность — в окружность. Движение сохраняет отношения принадлежности и отношения «лежать между». Это означает, в частности, что если прообраз (точка) принадлежала некоторой

1

________

Мишель Шаль (1793-1880) французский математик и историк математики.

2

От лат. conformis — сходный, подобный.

прямой, то этот образ точки при движении будет принадлежать образу прямой. Отсюда следует, что движение сохранит и отношение параллельности (и для прямых, и для плоскостей).

Движение можно принять в качестве основного понятия при аксиоматическом построении геометрии. Тогда вместо аксиом равенства фигур (конгруэнтности) вводятся аксиомы движения, а фигуры конгруэнтны, если существует движение, переводящее одну фигуру в другую.

Аксиомы движения:

  • 1) движение — это преобразование плоскости или пространства, при котором образом прямой является прямая, а образами плоскости — плоскость;

  • 2) произведение движений является движением, и для каждого движения есть обратное;

  • 3) если даны две точки А, В и полуплоскости а, 0, ограниченные полупрямыми а, Ь, исходящими из- точек А, В, то существует движение, и при том единственное, переводящее точку А в точку В, прямую а в прямую Ъ и полуплоскость а в полуплоскость 0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >