Определение параметров сторон и медиан 66 треугольника

Наименование дистанционного динамического расчетного проекта: определение параметров сторон и медиан треугольника.

Раздел математики: аналитическая геометрия на плоскости.

Цель реализации дистанционного динамического расчетного проекта: осуществить расчет значений необходимых параметров сторон и медиан произвольного треугольника на плоскости методами аналитической геометрии.

Теоретический аспект

Пусть на плоскости представлены три произвольные точки, образующие произвольный треугольник (ЛАВС), со следующими координатами: А (хЛл), В (хвв)ъ С (хсс)-

Нахождение уравнений сторон треугольника

Для нахождения уравнения сторон треугольника ДАВС (АВ, АС и ВС) необходимо воспользоваться уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: у = к • х + b, где к - угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, b -свободный коэффициент прямой, равный длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат от начала координат.

Поскольку для каждой из сторон имеем значения координат двух вершин треугольника, можно реализовать нахождение значений коэффициентов к и Ъ для соответствующих прямых через решение системы двух линейных алгебраических уравнений.

Для стороны АВ треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

(Уа= ^АВ ' ХА + ^АВ [к АВ ' ХА + ^АВ = У А

< ,ИЛИ <

[Ув=клвхв+Ьлв клвхв+ЬАВ = Ув

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кАВ и ЬАВ:

п _Ув~Уа _Уа~Ув

КАВ ~ ~ ’

ХВ~ХА ХА~ХВ

ЬАВ = УВ ~kAB ‘хВ = Ув ~УВ УЛХВ ИЛИ

ХВ~ХА

67

ЬЛВ=Ул-кАВ-хА=Ул-— ~ХА-

ХВ~ХЛ

Уравнение стороны АВ : у = кАВ • х + ЬАВ.

Для стороны АС треугольника ЛАВ С имеем систему линейных алгебраических уравнений:

[УА=кАС'Хл+ЬАС (кАС-ХА+ЬАС=Ул

< ,или <

ІУс = кАС ? ХС + ЬЛС [кАС ? ХС + bАС = Ус

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кАС и ЬАС:

ъ _Ус~Уа _Уа~Ус

КАС ~ ~

ХС~ХА ХА~ХС

ЬАС = УС ~кАС'ХС = УС~УС УА хС ИЛИ

ХС~ХА

ЬАС = Уа~ кАС ‘ХА = У А- УС УАХА •

ХС~ХА

Уравнение стороны АС: у = кАС • х + ЬАС.

Для стороны В С треугольника ЛАВ С имеем систему линейных алгебраических уравнений:

f У в = квс ' хв + ^вс (квс ‘ хв + ^вс = У в

be = квс • хс + Ьвс [квс • хс + ьвс = Ус

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов квс и Ьвс:

, _Ус~Ув _Ув~Ус

КВС - -

хс~хв хв~хс

Ус ~ У к

ьвс = Ус~квсхс = Ус-----*с или

хс~хв

Ьвс - Ув~ квс 'хв ~ Ув---хв •

хс~хв

Уравнение стороны ВС: у = квс • х + Ъвс.

Нахождение величин сторон треугольника

Значения величин сторон треугольника ДАВС (АВ, АС и ВС) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

  • 1ав=уКхв-^аУ+(Ув-УлУ >
  • 1лс = уЩс-^лС^Ус-Ул)2
  • 1вс=^/(хс-^вУ+(Ус-Ув)2 ?

Нахождение координат точек пересечения сторон и опущенных на них медиан для треугольника

При решении данной задачи необходимо воспользоваться утверждением, что медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противоположную сторону пополам.

Координаты основания медианы AMh то есть точки мі(хмі’Умі-

Координаты основания медианы ВМ2, то есть точки

М 2^ХМ 2’У М 2^)'-

Координаты основания медианы СМ 3, то есть точки

з(хмз>Умз)-

Нахождение уравнений медиан треугольника

Для медианы AM j треугольника ЛАВ С имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Уа=^амГха+^амі k am г xa+^ami = У а

< ,или <

У МІ = кАМ1 'ХМ1 +^АМ1 [кАМ1 'ХМ1 +^АМ1 ~ Умі

При решении данной системы уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кАМ1 и ЪАМ]:

k _Умі~Уа _Уа~Умі

КАМ1 ~ ’

ХМ1 ХА ХА ХМ1

Ьамі~Умі кАмГхмі~Умі Ум1 _У>Ахмі или

ХМ1 ХА

ЬАМ1 = У А ~кАМ1 'ХА = Уа~ УМ1 УЛ'ХА-

ХМ1 ХА

Уравнение медианы AM 7: у = кАМ 7 • х + ЪАМ 7.

Для медианы ВМ2 треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

У В = кВМ2 ' ХВ +^ВМ2 I кВМ2 ’ ХВ +^ВМ2 “ У В

< ,ИЛИ <

УМ2 ВМ2 'ХМ2 +^ВМ2 [кВМ 2 ‘ ХМ 2 + ^ВМ 2 ~ УМ 2

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кВМ2 И к>ВМ2’' к _ У М2 У в _ У В У М2

КВМ2 ~ _ ~

ХМ2 ХВ ХВ ХМ2

Ьвм2 - У М2 ~^ВМ2 'ХМ2 ~ У М2 ХМ2 ИЛИ

ХМ2 ХВ

h — v —k . у — v — 2 ~ . г

°ВМ2 ~ У В КВМ2 ХВ ~ У В хв-

ХМ2~ХВ

Уравнение медианы ВМ 2: у = квм2 - х + Ьвм2

Для медианы СМ3 треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Г Ус =^смз ’хс смз [ ксмз • хсСМЗ = ус

[Умз =^смз ’хмз+^смз ксмз • хмзСМЗ = умз

При решении данной системы уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов ксмз и Ьсмз:

k _ Умз ~ Ус _ Ус ~ Умз

хмз~хс хс~хмз

Ьсмз = Умз ~^смз ‘хмз = Умз ~'ХМЗ или хмз хс

Ьсмз = Ус~ ксмз 'хс ~ Ус ~ ~' хс •

хмз ~хс

Уравнение медианы СМ 3: у = ксмз ? х + Ьсмз.

Нахождение величин медиан треугольника

Значения величин медиан треугольника ЛАВС (АМ{, ВМ2 и СМ3) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

^АМ1 ='!(ХМ] ~ха) +(Умі~Уа) ’

^ВМ2~у(ХМ2 Хв) +(УМ2 У в) ’

1см з ~ уі(хмз ~хс) + (Умз~Ус) ?

Нахождение координат точки пересечения медиан или центра тяжести треугольника

Для медиан AMj и ВМ 2 треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Ум =^-АМ1 ' ХМ +^АМ1 ^АМ1 ’ ХМ ~ Ум =~ЬаМ1

Ум - ^ВМ2 ' ХМ +^ВМ2 УвМ2'ХМ~Ум=~^ВМ2

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки М с (хмс> У мсУ-

v _ ОВМ2 -^АМІ _ ЬАмі ~ЬВМ2

МС к -к к -к '

КВМ2 КАМ1 КАМ1 КВМ2

h — h

,, _ Е v і л _ иВМ2 иАМ 1 е . е ТЛТТТЛ

УМС~КАМ1 xMC+dAM1~ , КАМ1 ±ОАМ1 ИЛИ

КВМ2 кАМ1

v _Е ,г_ ЬВМ2~ЬАМ1 і .1

УМС~КВМ2 ХМС ^°ВМ2 - , КВМ2 ВМ2-

КВМ2 КАМ1

В итоге получим значения координат точки пересечения медиан AM j и ВМ 2 для треугольника ДА В С, то есть точки М смсмс).

Для медиан AM j и СМ3 треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Уме = ^АМ 1 ' ХМС + ^АМ1 к AM 1 ' ХМС ~ Уме =Ам I

< ,или ?

Уме = кем з ? хмс + к>см з [кемз ' хмс ~ Уме =~^смз

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки М с(хмс>УмсУ-

v _ ЬСМЗ ~^АМ1 _ ЬаМ1 ~ьсмз МС 1 1 7 1 ’

КСМ 3 ~ КАМ 1 КАМ1 ~ КСМ 3

,, _ ъ r I /з _ ^см3 ~ ^АМ1 к . /

УМС~КАМ1 ХМС'^АМ1~ , “-AMI ^°АМ1 или

КСМЗ КАМ1

V -k -X +Ь - ЬСМЗ~^АМ1 к ,h

Умс~Ксмз лМС±иСМЗ~ , , Ксмз смз-

КСМЗ КАМ1

В итоге получим значения координат точки пересечения медиан AM j и СМ 3 для треугольника ЛАВ С, то есть точки М смсмс).

Для медиан ВМ 2 и СМ 3 треугольника ЛА В С имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Уме = квм 2 ‘ ХМС + ^ВМ 2 кВм 2 ? ХМС ~ Уме = ~ЬвМ 2

< ,или <

УУмс = к-емз ' хмс +^смз [Лсл/з хмс ~ Уме = ~^смз

При решении данной системы уравнений получим выражения для нахождения координат точки М смс, умс):

_ Ьсмз~ЬВм2

хме ~ ,

КСМЗ КВМ2

,, _ Ъ г І /з _ ^СМ 3 — ^ВМ 2 п тлтттл

УМС~КВМ2 xMC±dBM2~ , КВМ2 ±ОВМ2 MJ1J4

кСМЗ кВМ2

v ,х ,h _ ЬСМЗ~ЬВМ2 і. ,h

Умс~Ксмз хмс^°смз~ , Ксмз±осмз-

кСМЗ к ВМ 2

В итоге получим значения координат точки пересечения медиан ВМ2 и СМ3 для треугольника ЛАВС, то есть точки Мс(хмс>Умс)Нахождение величин расстояний между точкой пересечения медиан треугольника и вершинами треугольника

Значения величин расстояний между точкой пересечения медиан ЛАВС, то есть точкой Мс, и вершинами треугольника СА, МСВ и МсС) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

ІМСА = уКхмс~ха) + (умс~Уа) ’

1мсв = у!(хмс~хв) + (Умс~Ув) ’

мс~хс) +(.Умс Ус) •

^мсс

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >