Определение параметров сторон, биссектрис и 78 вписанной окружности треугольника

Наименование дистанционного динамического расчетного проекта: определение параметров сторон, биссектрис и вписанной окружности треугольника.

Раздел математики: аналитическая геометрия на плоскости.

Цель реализации дистанционного динамического расчетного проекта: осуществить расчет значений необходимых параметров сторон, биссектрис и вписанной окружности произвольного треугольника на плоскости методами аналитической геометрии.

Теоретический аспект

Пусть на плоскости представлены три произвольные точки, образующие произвольный треугольник (zlABC), со следующими координатами: А (хАЛ), В (хвв)ілС (хсс

Нахождение уравнений сторон треугольника

Для нахождения уравнения сторон треугольника ДАВС (АВ, АС и ВС) необходимо воспользоваться уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: y-k-x + b, где к - угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, b -свободный коэффициент прямой, равный длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат от начала координат.

Поскольку для каждой из сторон имеем значения координат двух вершин треугольника, можно реализовать нахождение значений коэффициентов к и b для соответствующих прямых через решение системы двух линейных алгебраических уравнений.

Для стороны АВ треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

/ У А = к АВ ? ХА + ^АВ №аВ ' ХА + t>AB “ У А

s ,или

[У в = к Ав ' хв + Ьававхв + ^ав ~ У в

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кАВ и ЬАВ:

и __ У в ~Уа _ Ул ~ У в

КАВ ~ ~

ХВ~ХА ХА~ХВ

Ьлв = Ув-клв'*в = Ув~— — хв

ХВ ХА

^АВ - Уа~ кАВ 'ХА~ У А~ ~ ~ ’ ХА •

ХВ~ХА

Уравнение стороны АВ: у = кАВ ? х + ЬАВ.

Для стороны АС треугольника ЛА В С имеем систему линейных алгебраических уравнений:

У А = кАС * ХА + ЬАС [ кАС ‘ ХА + ЬАС = У А

Ус = кАС ? ХС + ^АС 1кАС ‘ ХС + ^АС = Ус

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кАС и ЬАС:

k _ Ус ~ Ул _ У а ~ Ус

КАС ~ ~ ’

ХС~ХА ХА~ХС

ЬАС = Ус~кАС'ХС = УС~УС УАХС ИЛИ

ХС~ХА

^АС - У А~ кАС 'ХА = У А~ ~ ~ ‘ ХА ’

ХС~ХА

Уравнение стороны АС: у = кАС • х + ЬАС.

Для стороны ВС треугольника ЛАВ С имеем систему линейных алгебраических уравнений:

J У в ~ квс ' хв + ^вс квс ' хв + ^вс ~ У в

< ,или <

[Ус = квс ? хс + ьвс [квс ? хс + ьвс = Ус

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов квс и Ьвс:

, _Ус~Ув _Ув~Ус

КВС - -

хс~хв хв~хс

ьвс = Ус ~квс'хс = Ус~Ус Ув'хс или хс~хв

^вс = Ув~ квс ' хв = Ув~ ~ ~ ’ хв •

хс~хв

Уравнение стороны ВС: у = квс • х + Ьвс.

Нахождение величин сторон треугольника

Значения величин сторон треугольника ЛАВС (АВ, АС и ВС) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

  • 1АВ = у! (Х в~ ХА )2 + (у В - У А )2
  • 1ас=^хс~ха)2 +(ус-Уа)2
  • 1вс =л)(хс~ хв )2 + (ус - У в )2

Нахождение координат точек пересечения сторон и опущенных на них биссектрис для треугольника

При решении данной задачи необходимо воспользоваться утверждением, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих сторон.

Координаты основания биссектрисы АК], то есть точки

К і (хкі>Ук/У-

hlC _ Іде ХС ~ХВ _ J BC _ hlB + 1К1С _ he + hc - ] + ІАС_

hlB ІДВ ХК1~ХВ hl В hlB ІДВ ІДВ

_ хс - Хп ус - ув

Тогда хК1 = хв + , аналогично уК] = ув + ——.

7 + ^ 1 + ^

I АВ ІДВ

Координаты основания биссектрисы ВК2, то есть точки

^2^ХК2’УК2-

^К2с _ he хс ~ха _ he _ К2А +h2c _ мв + he = / + hc_

^К2А he ХК2~ХА ІК2А ^К2А I АВ Ьв

_ хсА ус - уА

Тогда хк2 = хА + с , аналогично ук2 = уА + .

7 + /вс ' ] +

ІДВ ІДВ

Координаты основания биссектрисы СК3, то есть точки

^з(хкз>Укз):

[кзв _ he хв ~ха _ J ab _ ікза +^кзв _ he + he - ] + he

Ьза he хкз ~ ха Ьза Ьза he he

_ хвА Ув~Уа

Тогда хкзА + , аналогично укз = уА + .

7 + ^ ' 7 + ^

he he

Нахождение уравнений биссектрис треугольника

Для биссектрисы АК] треугольника ЛАВС имеем систему

линейных алгебраических уравнений:

[ Уа~^АК1‘ХА+^АК1 f ^АК1 ? Ха+ЬАкі - У А

< ,или <

[Ук1 = k-AKi'хкі + Ьдкі k-AKi'хкі + Ьдкі - Укі

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кАК1 и bAKJ:

и _Укі~Уа _Уа~Укі

КАК1 ~ ~

ХК1~ХА ХА~ХК1

ЬаКІ = Укі ~ ^АК1 ' ХК1 = Укі ~ ~ ' ХК1 или

ХК1 ХА

Ьакі =Уа~ ^АК1 'ха = Уа~ ~ ‘ ХА •

ХК1 ХА

Уравнение биссектрисы AKj: у = кАК1 • х + ЬАК1.

Для биссектрисы ВК2 треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

I У в = кВК2 ' ХВ + Ьвк2 „„„ I кВК2 ' ХВ + t>BK2 “ У в

s ,ИЛИ s

ІУ/С2 = кВМ2 ' ХК2 +ЬвК2 ' ХК2 +^ВК2 = У К 2

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов квк2 и Ьвк2:

к _Ук2~Ув_Ув~Ук2

КВК2 - -

ХК2 ХВ ХВ ХК2

7 7 Ук?-Уп

^ВК2 - Ук2 ~ ^ВК2 ' ХК2 ~ УК2 ~~ ~ ХК2 ИЛИ

ХК2~ХВ

^ВК2 ~Ув~ ^ВК2 'ХВ = УВ~ ' хв •

ХК2 ХВ

Уравнение биссектрисы ВК2: у = квк2 • х + Ьвк2.

Для биссектрисы СК3 треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

І Ус - кСкз ‘ хс + Ьскз I ^скз ' хс + ^скз ~ Ус

s ,ИЛИ s

[у КЗ = ^СКЗ ' ХКЗ + Ьскз ІЛсАГЗ ‘ ХКЗ + Ьскз = У КЗ

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения значений коэффициентов кскз и Ьскз:

k _Укз~Ус _Ус~Укз

хкз ~хс хс~ хкз

^СКЗ = У КЗ ~ ^СКЗ ? ХКЗ = У КЗ ~ ’ хкз или

хкз хс

Ьскз = Ус ~ ^скз ' хс = Ус ~ ~ ' хс •

хкз~хс

Уравнение биссектрисы СК3: у = кскз • х + Ъскз.

Нахождение величин биссектрис треугольника

Значения величин биссектрис треугольника ЛАВС (AKj, ВК2 и СК3) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

ІАКі = уКхкі~ха) +(укі ~ Уа) ’

^ВК2 = у/(ХК2~Хв) +(Ук2~Ув) ’

1скз -л!(хкз~хс) +(Укз~Ус) •

Нахождение координат точки пересечения биссектрис треугольника или центра вписанной в треугольник окружности

Для биссектрис и ВК2 треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

У КС - ^АК1 ' ХКС + ^АК1 ^АК1 ' хкс У КС ~ ЬаК1

< ,или <

У КС = ^ВК2 ‘ ХКС + ^ВК2 УВК2 ? ХКС ~ У КС = ~^ВК2

При решении данной системы уравнений получим выражения для нахождения координат точки Кскс, укс):

х _ ЬвК2 ~ ЬаК1 _ ЬАК1 ~ЬВК2

^ВК2~^АК1 кАкі~квК2

Укс = ^АК1 ' ХКС + ЬаК1 = ~ ]ВК2 _ ,АК1 ' ^АК1 + ЬАК1 или

КВК2 кАК1

Укс ~ ^ВК2 ' ХКС + ^ВК2 - ~ ,ВК2 _ ,АК1 ' ^ВК2 + ^ВК2 • КВК2 АК 1

В итоге получим значения координат точки пересечения биссектрис АК/ и ВК2 для треугольника ЛАВС, то есть точки ^с(ХКС’Укс)-

Для биссектрис АК] и СК] треугольника ЛАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

Укс ~ ^АК1 ' ХКС + ^АК1 ^АК1 ' хкс ~ Укс = ~^АК1

< ,или <

Укс = ^скз ' хкс + ^скз 1Лсо ‘ хкс ~ Укс = ~^скз

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки ^с(хкс>УксУ-

х __ ^скз Лкі _ _ Ьакі ~ Ьскз ^скз~^ак1 кАкі~кСкз

і і АК 1 і і

Укс = k-AKi' хкс + Ьакі = ^ак i + ^akj или

^СКЗ КАК1

Укс ~ ^скз 'хкс + ^СКЗ “ - ,СКЗ _ ,АК1 '^скз + ^скз•

КСКЗ К-АК1

85

В итоге получим значения координат точки пересечения биссектрис АК] и СК3 для треугольника ДАВС, то есть точки Кс(хкс>УксУ

Для биссектрис ВК2 и СК3 треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

У кс = ^вк2 ' хкс + ьвк2 квк2 ’ хкс ~ У кс ~ ~ьвк2

Укс = ^скз ‘ хкс + ьскз ІЛскз ‘ хкс ~ Укс ~ ~ьскз

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки Кс(хкС’УксУ

v _ bCK3 ~ ЬвК2

ХКС - , ,

КСКЗ КВК2

Укс = ^ВК2 ‘ ХКС + ЬВК2 = “ уКЗ ,ВК2 ? ^ВК2 + ЬВК2 или

КСКЗ КВК2

V -k .Y + h - ЬСКЗ~ЬВК2 к ,h

Укс ~ кСКЗ ХКС + °СКЗ ~ , кСКЗ + DCK3 •

ХСКЗ ХВК2

В итоге получим значения координат точки пересечения биссектрис ВК2 и СК3 для треугольника ДАВС, то есть точки ^с(хкс>УксУ

Нахождение величин расстояний между точкой пересечения биссектрис треугольника и вершинами треугольника

Значения величин расстояний между точкой пересечения биссектрис треугольника ДАВС, то есть точкой Кс, и вершинами треугольника сА, КСВ и КсС) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

ІКСА - уі(хкс~ха) +ІУкс~Уа) ’

Іксв = (хкс ~хвї + (Укс ~Ув) •>

Іксе = ^І(хкс ~хс) +(Укс~Ус) •

Нахождение уравнений перпендикуляров или радиусов вписанной в треугольник окружности, опущенных из центра вписанной в треугольник окружности на стороны треугольника

Для радиуса вписанной в треугольник ЛАВС окружности IcLj, опущенного из центра вписанной окружности 1С на сторону ВС, имеем соотношения для нахождения значений коэффициентов kICL1 и blCLl:

, 1 , I Х

kICLl - , ’ bicLi - Уїс kICLl ' XIC - Уїс + ,

квс квс

Уравнение радиуса вписанной окружности IcLj: У = kicu 'х + bicu ?

Для радиуса вписанной в треугольник ЛАВС окружности ICL2, опущенного из центра вписанной окружности 1С на сторону АС, имеем соотношения для нахождения значений коэффициентов kICL2 и blCL2 :

і 1 і і Х

kICL2 - ’ blCL2 = Уїс ~ kiCL2 ’ XIC = УIC + } ’

kAC kAC

Уравнение радиуса вписанной окружности Ic^2-У - kICL2 ' Х + biCL2 •

Для радиуса вписанной в треугольник ДАВ С окружности ICL3, опущенного из центра вписанной окружности 1С на сторону АВ, имеем соотношения для нахождения значений коэффициентов kICL3 и ^ICL3:

, 1 . , х

kjCL3 - , ’ ^ICL3 - Уїс klCL3 ' XIC - Уїс + 7 •

KAB KAB

Уравнение радиуса вписанной окружности ^с^з-У = ^ICL3 ‘ Х + biCL3 ?

Нахождение координат точек пересечения перпендикуляров или радиусов вписанной в треугольник окружности, опущенных из центра вписанной в треугольник окружности

на стороны треугольника

Для радиуса вписанной окружности IcLj и стороны ВС треугольника ДАВ С имеем систему линейных алгебраических уравнений:

I УLl = kiCLl ' ХЫ + biCLl , I kiCLl ’ XL1 ~ Уы = -blCLl

s ,ИЛИ s

I Уы - к вс ’ хы + Ьвс I к вс ' хи ~ У и = ~^вс

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки ^1(хи>Уи):

х _ ЬВс ~ Ьы _ bjcLi - bBC

к вс ~ kjcLi kICL] - квс

УLl - kjcu ’ хы + Ь[СЫ = ' klCLl + bjcLl или

КВС KICL1

У ы ~ к вс ’ хы + ^вс ~ ,ВС _ ,ICL1 ' к вс + ^вс •

КВС KICL1

В итоге получим значения координат точки пересечения радиуса вписанной окружности /CL7 и стороны ВС для треугольника ДАВС, то есть точки Lj (xL], yL]).

Для радиуса вписанной окружности ICL2 и стороны АС треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

У L2 = kiCL2 ' XL2 + bjCL2 ^ICL2 ' XL2 ~ УL2 = ~^1CL2

, ИЛИ <

. У L2 = к AC ' XL2 + ^AC I к AC ' XL2 ~ У L2 = ~^AC

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки ^2(XL2>Ус2):

л. _ _ ^АС ~blCL2 _ _ blCL2 ~ ^АС

к AC ~ klCL2 kicL2 - к AC

УЬ2 ~ k[CL2 ' XL2 + ^ICL2 ~ _ JCL2 ' k{CL2 + ^/CL2 ИЛИ

ХАС K1CL2

УЬ2 = кАС ' XL2 + ЬАС = -Ь,АС b'CL2 'к АС + ЬАС ?

КАС KICL2

В итоге получим значения координат точки пересечения радиуса вписанной окружности ICL2 и стороны АС для треугольника ДАВС, то есть точки L2(xl2,yL2).

Для радиуса вписанной окружности ICL3 и стороны АВ треугольника ДАВС имеем систему линейных алгебраических уравнений:

УЬЗ - klCL3 ' XL3 + Ьісьз klCL3 ‘ XL3 УьЗ - b/CL3

< ,или <

. Уьз = к AB ' XL3 + ^AB [ к AB ? XL3 ~ У L3 = ~^AB

При решении данной системы линейных алгебраических уравнений получим выражения для нахождения координат точки ^з(хьз’УьзУ-

х _ _ Ьав ~ Ьісьз _ _ Ьісьз ~ Ьав

к ав ~ кісьз kJCL3 ~ к Ав

Уьз = кісьз ' хьз + ^ісьз = _ ,АВ _ УСЬЗ ‘ к/сьз + ^ісьз или

КАВ К1СЬЗ

У и - к АВ ‘ хи +^АВ =-—^--ЬіСЬЗ 'к +ЬАВ.

КАВ ~ КІСЬЗ

В итоге получим значения координат точки пересечения радиуса вписанной окружности ICL3 и стороны АВ для треугольника ААВС, то есть точки L3(xL3,yL3).

Нахождение величин радиусов вписанной в треугольник

окружности

Значения величин радиусов вписанной в треугольника ЛАВС окружности {1cLj,IcL2 и 1cL3) определяются согласно следующим формулам нахождения расстояний между двумя точками на плоскости:

Ьсы = у!(хы ~хіс) +(Уьі~Уіс) ’

hcL2 = у1(хЬ2~хіс) +(Уь2~Уіс) '

Усьз - уі(хьз~хіс) +(Уьз~Уіс) ?

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >