Исследование вынужденных колебаний механической системы каскадного типа с тремя телами. Случай с гармоническим силовым возмущением, действующим на массу т/

Пусть в механической системе, описанной выше, на массу /и, действует гармоническое силовое возмущение с частотой р и амплитудой , тогда вариационный принцип Гамильтона примет вид:

fa(T-U)+dW)dt = 0, (5.9.1) где Т — кинетическая энергия системы; U — потенциальная энергия системы; dW — виртуальная работа неконсервативных сил.



Рис. 26. Механическая система каскадного типа с тремя телами в случае с силовым возмущением, действующим на массу щ

Вариация d(T—U) из (5.9.1) равна вариации из (1.5.1).

Внешнее гармоническое силовое возмущение определяется по формуле:

./) (t) = f cos pt.

Отсюда вариация dW примет вид:

cos ptSz ?

С учетом (1.5.2) и предыдущего (5.9.1) примет вид:

6 /

J (-«1,2, -o(z| -w(a,f)) + c2(z2 -z,)+/, cospz^z, + (-m2z2 -c2(z2 -z,) + '.A

(z3 - z2 ))? z2 + (- m3z3 - c3 (z3 - z, ))? z3 +

I( ~2 д4

j (o (Z| - «U -a)-pF^-EJ-^ 'I dt~ dx

Sxdx dt = 0


Отсюда получим уравнения движения системы [6]:

m/Zi + c1(z1 -w(a,z))-c2(z2-z,) = /1 cospZ m2z2 +c2[z2 -Z,)-c3(z3 -Z2) = 0 m3z3 + c3(z3 -z2) = 0

+ = -м(х,ґ)))?(х-а)

dt ox

Поделив обе части первого уравнения на тх, второго на т2, третьего на т2, а четвертого на pF, получим:

+ Pi2 Ui - w(«J)) - P2l2 (z2 - Z1) = Нх cos pt dt

+ P22 (z2 - /?322 (z3 - z2) = О

2 , (5.9.2)

d Z3 2/ An

—~ + Рз U3 -z2) = o

at

+ = -w(x,Z))j(x-«)

Of ox

гДе P =j^“’ Pi =J^~’ Pj=F“’ P2'=l^-’ Pi2=J^~’ b = ^T' e' =-T’ H' =~-

m} m2 1 тз N mi 1 m2 pP PP m

На функцию w(x,/) наложены граничные условия:

w(0,z) = w(/,z) = О

^(о.,)=-(л0=<> <5A3)

дх дх

Подставив в (5.9.2) z,(?), и(х,/) в виде:

z, (?) = A, cos pt, і = 1,3 w(x,Z) - V(x)cos pt.

После преобразований получим:

  • -/’2ai +/?i2(a1 -у(я))-p212(a2 -А,) = Я,
  • ? - p-Л + p2 (A2 - A,)- p322 (A3 - A2) = 0 (5.9.4)
  • -p2A3 + p32(A3 - A,) = 0
  • -/?2У(х) + /?б/ = e,(A| -V(fl)Xx-«). (5.9.5)

dx

Дифференциальное уравнение (5.9.5) имеет решение:

V(x) = V(x-a>,(A, -V(a)).

(5.9.6)


Граничные условия:


v(o) = v(l) = 0 ^(o)=^(/)=o' dx dx

Подставляя в равенство (5.9.6) x = a, получим выражение для V(a):

v(«) =


V(O>,A, i+v(oX ’


(5.9.7)


Подставляя в уравнения системы (5.9.4) выражение для V(a) из равенства (5.9.7), получим:

  • ( 2 2 . 2 2 Г (о)е, 2
  • 1л -р +р21 -Pl Y+y(pt~ г'~Р21 Ai- = H'

+(р22 ~ р2 + Р3222 ~ Рз2з =°

-Рз24 +(^з22Х =°

Отсюда, решая систему, найдем А,, А, и А3:

А, =Н,—, А2 А3 =Н,^-,

Ад


Ад


АА АЛ

где:

Ад =


1 + У(0>,


2 +Р2І2

Pl


2

~Р2

2 2 , 2

Р2 -Р +Р32

2

~Рз


О

~Р32

2 2

Рз -Р


А, = О


-Р22

Р22 +Р322


о

- Р322

Рз22






О

Рз22

Рз ~Р~


2 ,

“ /’21 1

Рг22 +Рз22 0

- Рз 0

Поделив А,, А, и А3 на , получим коэффициенты передачи твердых тел [6]:

z1(/’)=-^L-

Дд/п,

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >