Исследование вынужденных колебаний механической системы каскадного типа с тремя телами. Случай с гармоническим силовым возмущением, действующим на массу т2

Рис. 27. Механическая система каскадного типа с тремя телами в случае с силовым возмущением, действующим на массу т,














Пусть в механической системе, описанной выше, на массу т2 действует гармоническое силовое возмущение с частотой р и амплитудой Д, тогда вариационный принцип Га-мильтона примет вид:

$(d(T-U)+dW)dt = 0,


(5.10.1)














где Т — кинетическая энергия системы; U — потенциальная энергия системы; <51V — виртуальная работа неконсервативных сил.

Вариация д(Т-(/) из (5.10.1) равна вариации из (1.5.1).

Внешнее гармоническое силовое возмущение определяется по формуле:

/2(0 = f2 cos pt.

Отсюда вариация SW примет вид:

3W - f2 cos ptdz2

С учетом (1.5.2) и предыдущего (5.10.1) примет вид:

J — с, (z, -w(aj))+c2(z2 + (-m2z2 -c2(z2 -Zi)+

zo

О(z3 - Z2) + f2 cos pt)sZ2 + (- m3z3 - C3(z3 - z2 ))? z3 + (x, r)))-a)-pF < 1‘ - EJ jSxdx dt = 0 dr dx J


Отсюда получим уравнения движения системы:

щ.Д + c,(zj -u(a,t))-c2(z2 -Z,) = 0 m2 z2 + c2 (z2 - z,) - c3 (z3 - z2) = f2 cos pt m3z3 +c3(z3 -z2)=0

+ -w(x,Z))Xx-a)

dr dx

Поделив обе части первого уравнения на , второго на т2, третьего на т3, а четвертого на pF, получим:

d27

-A + Ak -z/(a,r))-p212k -z,) = 0 dt


Z3 . 2/ 'in

-ТГ + Рз k -Z2) = 0 dt


(5.10.2)


du . d4u / . ,с/ Ч

TV + /’VT = ^ik -u(x,t))d(x-a) dt~ dx


ГДЄ P,=j^> P3=J^^ P2,=J^^ P32=]^^ = ^^1=-y^ W2

m, m2 у 3 m m2 Pr Pr

На функцию z/(x,/) наложены граничные условия:


= А

т2


z/(0, г) = и(/, г) = О


^(о.()4(/.,)=о.

dx dx


(5.10.3)


Подставив в (5.10.2) z(. (г), u(x,t) в виде:


z, (?) = A, cos pt,і = 1,3 u(x,f) - V(x)cos pt.


После преобразований получим:


- р2Ах + /к(А - V(a))- р212(Л - А, ) = 0


4 P ~ A2 + p2~ (A, A, ) Py2 (^3 ^2 ) ^2

~ p Аз p3 (^.3 ?A) о


(5.10.4)


-p~V{x) + b d = e, (A[ - V(a)k(x - a) dx


(5.10.5)


Дифференциальное уравнение (5.10.5) имеет решение:


V(x) = V (x _ fl)fі (A, - V(«)).


(5.10.6)


Граничные условия:


v(o)=v(/)=o

^(o)=^(/)=o

dx dx


Подставляя в равенство (5.10.6) x - а, получим выражение для V(fl):


i+v(o>,


(5.10.7)


Подставляя в уравнения системы (5.10.4) выражение для У(а) из равенства (5.10.7), получим:


Ґ 2 2 . 2 2 V(0>,

~р +р» -р' iTWk

~ Р1 А (,Р2~ ~ Р + Рз2 )^2 ~ Р 32 Аз ~ 2

~ Pi ^2 + (.РУ2 ~ Р'}АІ =0


где:


Отсюда, решая систему, найдем А,, А, и А3:


А, Д-,

А, - А, - Н2 , А,

- Ал


А.з


= н2^, Ад


7 2 2

Р1~~Р + Рз2~

~ Рз


О

  • 2 ~Р32
  • 2 2

Рз ~Р


2

~Рз

2 7 2

РЗ -Р +Р32

2 ~Рз


О

- Р322

Рз22


Поделив Ар А, и А, на f2 получим коэффициенты передачи [6]:


А,

А 4^2


А?

А


’ 7з(р) =


A3

Ад^7


 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >