Исследование вынужденных колебаний механической системы каскадного типа с тремя телами. Случай с гармоническим силовым возмущением, действующим на массу т3

Рис. 28. Механическая система каскадного типа с тремя телами в случае с силовым возмущением, действующим на массу щ,

Пусть в механической системе, описанной выше, на массу /и3 действует гармоническое силовое возмущение с частотой р и амплитудой /3, тогда вариационный принцип Гамильтона примет вид:

J((7’-{7) +

zo

где Т — кинетическая энергия системы; U - потенциальная энергия системы; <5W — виртуальная работа неконсервативных сил.

Вариация 3(Т-U) из (5.11.1) равна вариации из (1.5.1).

Внешнее гармоническое силовое возмущение определяется по формуле:

A(0 = /3cospr.

Отсюда вариация dW примет вид:

<5W = f } cos pt<5z3

С учетом (1.5.2) и предыдущего (5.11.1) примет вид:

((-'»Л-cx(zx -и(а,?))+с22 -zj^z, + (-w2z2 -c2(z2 -Zj)+

c3(z3 -^2))^z2 +(-/n3z3 -c3(z3 -z2)+/3cosp/)5z3 +

д2

(x,0)M* -a)-pF - EJ


о и і e . I . ..

—- oxax dt - 0 dx4 J


Отсюда получим уравнения движения системы [6]:

тлї} + C](zi — м(<я,Г)) —c2(z2 -z,) = 0 m2z2 + c2(z2 -Z])-c3(z3 -z2) = 0 /?z3z3 +c3(z3 -z2) = /3cos/?z

PF -p-T + EJ = (ci (zi - w(x,o))j(x - a) ot dx

Поделив обе части первого уравнения на т{, второго на т2, третьего на т3, а четвертого на pF, получим:

^-7- + /?|2(zi -«(a,?))-p2I2(z2 - z,) = О at~

+ P22(z2-zl)-p32z3-z2) = 0 dt'

(5.11.2)


d'z3 2/ rI

-^~ + Рз [Z3-Z2)= H.cospt

T^ + /?TT = ei(zi ~ u(x,t))d(x - a) dt dx

J с, с, с3 с2 с3 EJ с. TI f3

— ’ Pl =J—’ Рз^у Р21=у — ’ Рз2=у — ’ Ь = —^’ е> Н3 = — т] т2 т3 mt у т2 pF рг т3

На функцию h(x,z) наложены граничные условия:

w(O,r) = u(l,t) = О

(5.11.3)


dx дх

Подставив в (5.11.2) z, (/), u(x,t) в виде:

z, (?) = Д cos pt ,i - 1,3 z/(x,Z) = V(x)cos pt,

после преобразований получим:



































  • -/ГА, +/?i(A, -У(а))-р2112 - А, ) = О
  • * Р А2 + Pi~2 А|) р22 3 А,) — О ~ Р Аз + р3 (А, — А2) = Н3

(5.11.4)


- р1 V(x) + b d = t>, (А, - V ))с>(х - а).

ах


(5.11.5)


Дифференциальное уравнение (5.11.5) имеет решение:


У(х) = У(х-о>,(А, -У(а)).


(5.11.6)


Граничные условия:


у(0) = ?(/) = О


dV dx


dV dx


Подставляя в равенство (5.11.6) х = а, получим выражение для У(а):


V(a)=


1+у(о>, ’


(5.11.7)


Подставляя в уравнения системы (5.11.4) выражение для У(а) из равенства (5.11.7), получим:

2 1 -1_ 1 2 Г (о)е1 V 2 . п

Pi -р + р21 - Pi 77775ЇГ р ~ Л2 = °

~РзАі + р2 ~ Р* + Рз2)А2~ Рз2 Аз = °

— р3 А, + (р3р )а, = Н3

Отсюда, решая систему, найдем А,, А2 и А3:

Д, Д,

Дз

Да


А, = Я, —1-, А2 = Я, —, А3 = Я,

' Д.4 ’ Да

где:

2 -Р21

О

  • 2 ~Р32
  • 2 2

Рз -Р





















1

2 . 2

Р2 -Р +Р32

2

~Рз

Д2


2 2

Д, = О р2 -р- +Р32


о

  • 2 Р12
  • 2 2

Рз


Pi 2 2

Ї7Ж?’" +Рг'

2 ~Рг

О


О О

  • 0 Рз22
  • 1 Р2~Р~

~ Pi2 0

Р222 + РК 0


Поделив А,, А, и А3 на /3, получим коэффициенты передачи [6]:


Zi(p) =


А, ДЛ3


Х2(р) =


^2

ДЛт3


» /з(/’) =


Аз .

Алт3


 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >