Особенности построения структуры математических моделей технологических процессов

Формально технологический процесс можно представить как упорядоченное множество элементов структурной модели, каждый элемент которой выполняет определенную функцию (работу) и находится в конструктивной, функциональной, информационной связи с другими элементами.

Большая размерность задач проектирования сложных технических систем и объектов делает целесообразным блочноиерархический подход, при котором процесс проектирования разбивается на взаимосвязанные иерархические уровни. Структурный синтез при этом составляет существенную часть процесса проектирования и также организуется по блочно-иерархическому принципу. Это означает, что вся сложная система синтезируется не целиком, а на каждом уровне в соответствии с выбранным способом декомпозиции синтезируются определенные функциональные блоки с соответствующим уровнем детализации. Существуют различные способы классификации задач структурного синтеза. Так, в частности, в зависимости от стадии проектирования различают следующие процедуры структурного синтеза: выбор основных принципов функционирования проектируемой системы, выбор технического решения в рамках заданных принципов функционирования, формирования технической документации. В зависимости от типа синтезируемых структур различают задачи одномерного, схемного и геометрического синтеза. В зависимости от возможностей формализации различают задачи, в которых возможен полный перебор известных решений, задачи, которые нс могут быть решены путем полного перебора за приемлемое время, задачи поиска вариантов структур в счетном множестве допустимых вариантов задачи синтеза, решение которых является проблематичным.

В самом общем случае для решения задачи необходим перебор вариантов, и сокращение перебора является актуальной проблемой. Иерархический подход уменьшает число вариантов на каждом уровне и делает решение задачи определения оптимальной структуры технического объекта реальным.

В зависимости от сформированной задачи структурная модель процесса строится с той или иной степенью подробности

(детализации). Так, в ТП, выполняемом на поточной линии, при распределении припусков на послеоперационную обработку элементами структуры могут быть сами станки. Если исследуются качество и точность деталей на отдельных операциях, то станок расчленяется на соответствующие узлы и структурная модель строится из этих узлов (элементов). Таким образом, структурная модель отвечает характеру сформированной задачи.

Технологический процесс как сложная система функционирует в пространстве и во времени, т. е. в каждом элементе системы происходят определенные изменения, а также протекают физические, химические, кинетические и другие процессы, обусловленные назначением элементов в структуре и их взаимодействием. Построение модели функционирования системы сводится к построению математических моделей процессов, которые в конечном счете выражаются дифференциальными, интегральными, алгебраическими и другими типами уравнений или какой-либо логической зависимостью.

Формоизменение заготовки происходит в процессе выполнения операций и переходов. Главная функция цели ТП может быть выражена в виде

Ф/5О —> SK = Со, где Ф - оператор формоизменения; So- исходное состояние заготовки; SK- конечное состояние готовой детали; Со- критерий оптимизации.

Используя такой подход, ТП можно описать математически в виде функционала функции Ф формоизменения обрабатываемой детали S, т. е. Е(Ф, S) = Со. Весь процесс формообразования может быть представлен как переход из состояния заготовки So в состояние детали SK посредством выполнения совокупности некоторой последовательности операций. В этом случае можно показать

Г(Ф, 8)=Ф|->Ф2->Фз->-->..Фк;

So—•> S|—» S2——> Sj<-i—»Sk-

Главным требованием, предъявляемым к математической модели любого объекта, и в частности к ТП, является адекватность отражения модели реальным свойствам объекта.

Отметим существенное различие между синтезом оптимальных структур и анализом качества структур технических объектов. При анализе необходимо убедиться, что решение существует, а численные методы анализа устойчивы. При структурном синтезе не гарантировано даже существование номинальной структуры, удовлетворяющей веем требованиям ТЗ на проектируемый объект. Существующие и разрабатываемые математические модели синтезируемых технических объектов, как правило, оказываются довольно чувствительными к начальным условиям, размерности задачи оптимизации, виду целевых функций и ограничений. Поэтому необходимым условием для решения задач синтеза оптимальных структур технических объектов различной природы является использование методов и средств автоматизированного проектирования. Естественно, что формализованные модели и методы для САПР, с одной стороны, должны характеризоваться высокой степенью общности и достоверности, а с другой стороны, должны быть разрешимыми с вычислительной точки зрения.

Математическая модель выражается математическими зависимостями, представляющими собой определенные соотношения между отдельными параметрами, описывающими данный объект, а также множеством ограничений, накладываемых на эти параметры и выражаемых в виде уравнений и неравенств. Совпадение математической модели процесса с фактическим процессом зависит от квалификации проектировщика и уровня его математической подготовки.

При решении задач оптимизации, возникающих на разных этапах технологического проектирования, используются различные виды математических моделей и методов оптимизации. Ниже приводится их классификация.

Математические модели по структуре делятся на две группы: без ограничений и с ограничениями, которые могут задаваться линейными и нелинейными функциями.

По виду переменных различают математические модели с непрерывными и дискретными значениями переменных. В последней группе бывают дискретные целочисленные и нецелочисленные.

Методы оптимизации в зависимости от вида функции цели и ограничений подразделяются на классический метод дифференцирования, линейное, квадратичное, выпуклое и динамическое программирование.

С точки зрения стратегии поиска оптимума выделяют четыре группы методов оптимизации: аналитические, рекурсивные, итерационные, стохастические. Последняя группа имеет особое значение при выборе метода решения рассматриваемых задач.

Аналитические методы находят применение при решении классических задач и задач с ограничениями в виде уравнений. Для решения задач без ограничений используют методы исследования производной функции. Путем приравнивания производной к нулю отыскиваются точки экстремума, а затем исследуются точки с помощью второй производной для отыскания максимума. Таким способом решаются простые технологические задачи, например рассчитывается режимы резания, выбираются параметры режущего инструмента и др.

Рекурсивные методы относятся к методам, позволяющим определить одну переменную за одну расчетную операцию. Вся задача решается путем поочередного определения переменных. Наиболее распространенным среди этих методов является динамическое программирование. Этот метод можно использовать при анализе многоэтапных процессов принятия решения, например при оптимизации маршрутных ТП. Однако метод динамического программирования эффективен при небольшом числе ограничений, вводимых в математическую модель, поэтому он пока не получил широкого распространения при решении технологических задач.

Итерационные методы объединяют наибольшую группу методов поиска оптимумов. К ним относятся способы расчета функции цели в одной или нескольких вероятностных точках для определения «лучшей» точки. Расчет выполняют до тех пор, пока не приблизятся к назначенному критерию на расстояние, меньшее некоторого заданного значения. Эти методы позволяют устанавливать только локальные оптимумы, однако они могут применяться в случаях, когда оптимизацию проводят в различных исходных точках. Оптимумы, определяемые этим способом, представляют собой достаточно точное решение относительно абсолютного оптимума.

Различают два больших класса итерационных методов: методы линейного и нелинейного программирования.

Линейное программирование применяют для решения линейных задач, когда функции цели и ограничения являются линейными, а все переменные — непрерывными функциями. В основу этого программирования положено утверждение, что точка оптимума целевой функции находится в одной из вершин выпуклого многогранника, определяющего область возможных решений. Наиболее известным итерационным методом решения линейных задач является симплекс-метод.

Для методов нелинейного программирования характерно непосредственное отыскание оптимума. Эти методы разделяются на две группы: методы, базирующиеся на расчетах градиентов, и методы, при использовании которых этот расчет нс требуется. К первой группе относится метод наискорейшего спуска, а ко второй — метод Фибоначчи, основанный на отыскании оптимума вдоль произвольно выбранного направления. Все методы непосредственного поиска оптимума включают операции выбора направления поиска и длины шага. Отдельные методы имеют разные критерии выбора этих двух параметров. Большинство методов непосредственного отыскания оптимума не может быть применено к математическим моделям с ограничениями. В этом случае предварительно необходимо привести математическую модель с ограничениями к модели без ограничений. Для этой цели используются специальные математические методы: метод штрафных функций, метод множителей Лагранжа.

Стохастические методы оптимизации (методы случайного поиска решений) включают процедуры накопления и обработки информации, в которые сознательно вводится элемент случайности. Преимущества этих методов заключаются в их простоте, надежности, достаточной точности и легкости программирования. Методы случайного поиска стали одними из наиболее эффективных методов оптимизации.

Стохастические методы оптимизации применяются для решения различных задач технологического проектирования процессов изготовления деталей при наличии большого числа случайных факторов, которые не представляется возможным описать в традиционной математической форме.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >