Построение обобщенных критериев оптимальности

При оптимизации процессов механической обработки часто возникает необходимость одновременного достижения нескольких противоречащих друг другу целей. Принимая решения, улучшающие оценки одного критерия, например минимальной себестоимости операции, мы ухудшаем тем самым оценки по другим критериям, например наибольшей производительности и др. В таких случаях возникает задача оценки и сравнения различных проектных решений при так называемом векторном критерии эффективности. С этой целью используют обобщенные критерии, которые являются скалярными функциями частных критериев и учитывают степень достижения всех целей в совокупности, отражая относительную значимость каждого критерия в отдельности.

Поскольку каждый из частных критериев является фактически функцией управляемых переменных, то и обобщенный критерий, в свою очередь, можно рассматривать как некоторую функцию управляемых переменных. Эту функцию, как отмечалось, обычно называют целевой. При таком подходе, называемом свертыванием векторного критерия, сравнение решений по векторному критерию фактически заменяется выбором способа свертывания и определения значения коэффициентов, участвующих в этом свертывании. Существуют следующие виды обобщенных (свернутых) критериев.

Аддитивный критерий. В аддитивных критериях целевая функция образуется путем сложения нормированных значений частных критериев. Частные критерии имеют различную физическую природу и в соответствии с этим — различную размерность. Поэтому при образовании обобщенного критерия следует оперировать не с «натуральными» критериями, а с их нормированными значениями. Нормированные критерии представляют собой отношение «натурального» частного критерия к некоторой нормирующей величине, измеряемой в тех же единицах, что и сам критерий. При этом выбор нормирующего делителя должен быть логически обоснован. Возможно несколько подходов к выбору нормирующего делителя.

Первый подход предлагает принимать в качестве нормирующего делителя директивные значения параметров, заданные заказчиком. Логически слабым моментом такого подхода является негласное предположение того, что в ТЗ на проектируемый объект заданы оптимальные значения параметров объекта и что совокупность заданных значений критериев рассматривается как образцовая.

Второй подход предполагает выбирать в качестве нормирующих делителей максимальные значения критериев, достигаемые в области существования проектных решений (в области компромисса). Возможен подход, при котором в качестве нормирующих делителей выбирают разность между максимальным и минимальным значениями критерия в области компромисса.

Выбор подхода к формированию безразмерной формы частных критериев в значительной степени носит субъективный характер и должен обосновываться в каждом конкретном случае.

Если при проектировании некоторого объекта существует п частных критериев, то в качестве обобщенного критерия берется «взвешенная» сумма частных критериев

F(x)=ZaiKj(x) , (2)

i=l где х—управляемые переменные; а„ — неотрицательные коэффициенты, значения которых выбираются исходя из степени важности отдельных целей и определяются на основании ранее решенных аналогичных задач или методом проб. В последнем случае «весовые» коэффициенты подбираются при анализе результатов, получаемых при различных значениях этих коэффициентов.

Аддитивный критерий позволяет осуществлять компромисс, при котором улучшение значения одного нормированного частного критерия компенсирует ухудшение значений других.

Введение весовых коэффициентов должно учитывать различную значимость частных критериев при формировании аддитивного критерия. Определение весовых коэффициентов сталкивается с серьезными трудностями и обычно сводится либо к использованию формальных процедур, либо к применению экспертных оценок.

Аддитивный критерий имеет ряд недостатков, главный из которых состоит в том, что он не вытекает из объективной роли частных критериев в функционировании объекта или системы и выступает как формальный математический прием, придающий задаче удобный для решения вид. Другой недостаток заключается в том, что в аддитивном критерии может происходить взаимная компенсация частных критериев. Это значит, что значительное уменьшение одного из критериев вплоть до нулевого значения может быть покрыто возрастанием другого критерия. Для ослабления этого недостатка следует вводить ограничения на минимальные значения частных критериев и их весовых коэффициентов. Несмотря на слабые стороны обобщенный аддитивный критерий позволяет в ряде случаев успешно решать многокритериальные задачи и получать полезные результаты.

Мультипликативный критерий. В ряде задач проектирования более целесообразным является оперирование не с абсолютными, а с относительными изменениями значений частных критериев.

Принцип справедливой относительной компенсации формулируется следующим образом: справедливым следует считать такой компромисс, когда суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других критериев.

В математической форме условие оптимальности на основе принципа справедливой относительной компенсации имеет вид «взвешенного» произведения частных критериев

Р(Х) = П(К|(х))’1 . (3)

1=1

Мультипликативный критерий образуется путем простого перемножения частных критериев в том случае, когда все они имеют одинаковую важность. При неравноценности частных критериев вводятся весовые коэффициенты Ci и мультипликативный критерий принимает вид

F(x) = ri(KCii(x))a‘ . (4)

i=l

Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормировка частных критериев. Недостатки критерия: критерий компенсирует недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений частных критериев.

Конъюнктивный критерий. По этому критерию оценивается каждое решение с точки зрения цели, степень достижения которой (с учетом «весового» коэффициента) в данном случае наименьшая:

F(x)= minajKj (х). (5)

l

Дизъюнктивный критерий. Противоположен предыдущему и оценивает решения с точки зрения цели, степень достижения которой (также с учетом «весового» коэффициента) в данном случае максимальна:

F(x) = maxa.K, (х). (6)

l

Кроме рассмотренных, могут использоваться и другие способы свертывания критериев. Так, способ выделения наиболее важного критерия предусматривает определение из набора частных критериев оптимальности одного, который принимается за обобщенный как критерий допустимости. Для выбора наиболее важного критерия может быть рекомендован метод последовательных уступок.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >