Расчет оптимальных режимов резания методом линейного программирования

В основе оптимизации режимов резания методом линейного программирования лежит построение математической модели, которая включает совокупность технических ограничений, приведенных к линейному виду логарифмированием. Для решения этой задачи на ЭВМ могут быть использованы различные численные методы (метод перебора, симплекс-метод и др.), а также графический

214 метол, наглядно представляющий математическую модель процесса резания.

Качество математической модели процесса резания металлов, и в первую очередь ее достоверность, зависит от выбора технических ограничений, которые в наибольшей степени определяют описываемый процесс. Наиболее важными ограничениями являются следующие: режущие возможности инструмента; мощность электродвигателя привода главного движения; заданная производительность станка; наименьшая и наибольшая скорости резания и подача, допустимые кинематикой станка; прочность и жесткость режущего инструмента; точность обработки; шероховатость обработанной поверхности.

Рассмотрим особенности построения технических ограничений для наиболее распространенных методов обработки - продольного наружного точения и фрезерования торцовыми и цилиндрическими фрезами.

Ограничение 1. Режущие возможности инструмента. Это ограничение устанавливает связь между скоростью резания, определяемой принятой стойкостью инструмента, его геометрией, глубиной резания, подачей и механическими свойствами обрабатываемого материала, с одной стороны, и скоростью резания, определяемой кинематикой станка, с другой.

Скорость резания для различных видов обработки определяется по формуле

С Г)''’ к

v =---- v v-----, (68)

TmtXv sVv zu' B?

где Cv - постоянный коэффициент, характеризующий нормативные условия обработки; D - диаметр обрабатываемой детали (или инструмента), мм; kv - поправочный коэффициент, учитывающий качество обрабатываемого материала, состояние поверхности заготовки, характеристику режущего инструмента; Т- принятая стойкость инструмента, мин; m - показатель относительной стойкости; t - глубина резания, мм; s- подача, мм/об, мм/мин; z-число зубьев режущего инструмента; Вф - ширина фрезерования, мм; xv> Yv> uv> zv> rv ~ показатели степеней или переменных в формуле скорости резания.

Скорость резания определяется также кинематикой станка согласно зависимости

v = 7tDn-10 (69)

Приравнивая правые части приведенных формул и выполняя преобразования, получают выражение первого технического ограничения в виде неравенства у 318Cvk Dz'" TV'z^Bj,

(70)

Это техническое ограничение достаточно просто приводится к виду, описывающему конкретный вид обработки. Так, для продольного наружного точения можно получить, имея в виду значения коэффициентов zv=(), uv=0, rv = О, следующее неравенство:

Ограничение 2. Мощность электродвигателя главного движения станка. Этим ограничением устанавливается взаимосвязь между эффективной мощностью, затрачиваемой на процесс резания, и мощностью электропривода главного движения станка. Эффективная мощность, затрачиваемая на процесс резания при различных видах обработки, определяется по формуле

C2tXzDz'nn’sy'7tn'B(;zu'k

= —--------------*-----, (72)

kCz

где Cz- постоянный коэффициент, характеризующий условия обработки; kz- общий поправочный коэффициент на мощность, учитывающий изменение условий обработки против нормативных; kCz, - поправочный коэффициент, учитывающий отдельный вид обработки; xz, zz, nz, yz, rz, uz, - показатели степени при t, D, n, s, z и Вф. Учитывая необходимое условие протекания процесса резания, можно получить неравенство

I%nTi, (73)

где Nn - мощность электродвигателя главного привода станка, кВт; г) - КПД механизма передачи от электродвигателя к инструменту.

Приравнивая правые части данных выражений, получаем второе техническое ограничение в виде неравенства n -syz <--------n Lz------. (74)

C^'D^'B^

Ограничение 3. Заданная производительность станка. Этим ограничением устанавливается связь расчетных скорости резания и подачи с заданной производительностью станка. Исходя из соотношения продолжительности цикла работы станка Тц, основного технологического t0 и вспомогательного непрерывного tB„ времени, можно получить выражение для третьего технического ограничения где L- длина рабочего хода инструмента, мм; R-заданная производительность станка, шт/мин; К3 - коэффициент загрузки станка; rR- число деталей, обрабатываемых одновременно на одной позиции.

Ограничения 4,5. Наименьшая и наибольшая допустимые скорости резания. Эти ограничения устанавливают взаимосвязь расчетной скорости резания с кинематикой станка по минимуму и максимуму. Они записываются в следующем виде:

— ^cT.niin ’

П^ПСт.тах- (76)

Ограничения 6,7. Наименьшая и наибольшая допустимые подачи. Эти ограничения аналогично двум предыдущим устанавливают взаимосвязь расчетной подачи с подачей, допустимой кинематикой станка по минимуму

SScT.min

и максимуму

® — ®ст.тах • (77)

Ограничение 8. Прочность режущего инструмента. Это ограничение устанавливает взаимосвязь между расчетными значениями скорости резания и подачи и допустимыми по прочности режущего инструмента. В основу построения этого ограничения закладывают условия нагружения режущего инструмента, например резца как консольной балки с приложением на ее конце усилия, равного окружной составляющей силы резания Pz. В этом случае предел прочности материала державки резца при изгибе определяется зависимостью снюгк,п/ХУ, (78)

где МИ!1. = PzlBp - изгибающий момент в месте закрепления державки резца на расстоянии 1вр вылета резца от точки приложения окружной силы, кг/мм2; к3|| - коэффициент запаса прочности; W- момент сопротивления сечения державки резца, мм2.

Выражая окружную силу резания в зависимости от элементов режимов резания, а также учитывая форму державки (для прямоугольного сечения шириной В и высотой Н момент

ВН2ч сопротивления равен W =----) и значение предела прочности для

Е

незакаленной углеродистой конструктивной стали а = 20-24 кг/мм2, можно получить после некоторых преобразований ограничение

----4ДН2(103)"г----- (79)

D^^^k^k,

Ограничение 9. Жесткость режущего инструмента. Это ограничение устанавливает взаимосвязь между расчетными значениями скорости резания и подачи и допустимыми по жесткости режущего инструмента. Известно, что максимальная нагрузка, допустимая жесткостью резца Ржщоп, определяется по формуле

Рж.ДОп=ЗШ1/11р, (80)

где f - допустимые стрелы прогиба резца, мм; Е - модуль упругости материала резца (для конструктивной стали Е=(2-2,5) (10 кг/мм*); I-4 момент инерции державки резца, мм .

Допустимый прогиб резца f зависит от требуемой точности обработки и может быть принят для чернового и получистового точения равным 0,1 мм, а для чистового - 0,05 мм. Момент инерции державки резца зависит от се формы. Для прямоугольного сечения с шириной В и высотой Н он определяется по формуле: 1 = ВН3/12. Из условия соотношений окружной составляющей Pz и максимальной нагрузки, допускаемой жесткостью резца, и после соответствующего представления Pz через элементы режима резания получают девятое ограничение в виде неравенства Pz < Рж доп, а после подстановки значений

(l()3)n'+1BH3

'zsy, ? z

  • (81)
  • 2Cztx'Dn,nn'l3pkz

Ограничение 10. Жесткость заготовки. Это ограничение устанавливает взаимосвязь расчетных и допустимых значений скорости резания и подачи. Из-за многообразия форм заготовок невозможно получить общие зависимости для описания рассматриваемого вида технического ограничения. Поэтому остановимся на его построении для точения цилиндрической гладкой заготовки и закрепления ее в центрах.

В основу этого ограничения положено условие, при котором прогиб ус заготовки под действием радиальной составляющей силы резания Р должен быть меньше или равен допустимому прогибу Удо„>т.е. ус < удоп.

Из рис. 51 видно, что допустимый прогиб должен быть меньше допуска на размер: удоп < 0,58, где б - допуск на размер, мм. Прогиб заготовки

ус = PyXp(L3 - хр)2/ЗЕ1Ц,

(82)

где L3 - длина заготовки, мм; хр - расстояние от правого торца до места приложения силы (до резца), мм; I = nD4, /64 - момент инерции сечения заготовки в месте искомого прогиба, мм4; Dlip -приведенный диаметр ступенчатого вала, мм.

Схема деформации заготовки при точении под действием радиальной составляющей силы резания

Рис. 51. Схема деформации заготовки при точении под действием радиальной составляющей силы резания

После преобразования рассмотренных формул и подстановки в них значения

С tx's'yDnynn>'/nn>kz р — У_________________?

  • (83)
  • (1()3)пу

получим техническое ограничение по жесткости заготовки

n-,s>,s (84) 64Cyt1’k,D">x“(L,-xp)2

Ограничение 11. Прочность механизма подач станка. Это ограничение устанавливает взаимосвязь расчетных и допустимых значений скорости резания и подачи по прочности механизма подач станка. Имеется обобщенная зависимость определения силы для различных видов обработки

Ps = Cstx'sy'nn'Dn*+z*nn'zu’B'ks(10’3)n’ (85)

При продольном наружном точении коэффициенты zc, us, rs равны нулю, а при фрезеровании коэффициент ns =0. В общем виде ограничение имеет вид Ps < Ps доп. Значение Ps доп находят в паспортных данных металлорежущего станка. Подставив в это неравенство выражение для Ps, получим техническое ограничение по

прочности механизма подач станка

nn’sy

< (103)nsPs доп

CstxDn+z'nn'zuBrks

(86)

Ограничение 12. Требуемая шероховатость поверхности. Это ограничение устанавливает взаимосвязь расчетных и допустимых значений скорости резания и подачи по требуемой высоте или форме шероховатости.

Известно, что выбор скорости резания и особенно подачи при получистовой и чистовой обработке очень часто определяется требуемой шероховатостью поверхности. В основу этого ограничения могут быть положены многочисленные экспериментальные зависимости для различных характеристик шероховатости поверхности R (Ra, Rz, Rmax), шага микронеровности Sm, величины опорной поверхности tp, которые представляются в виде следующих выражений мультипликативного типа:

R = klnk2sk’tk4(pi5(pk,'rk7,

(87)

где к,, к2, к3, к7 - экспериментально установленные коэффициенты; ср,, <р, г - параметры геометрии режущей части инструмента. После преобразования с учетом обеспечения требуемого значения шероховатости получают техническое

ограничение также в виде неравенства

(88)

k]tk4k,(pk6rk’ ’

Знак неравенства определяется видом характеристики шероховатости. В тех случаях, когда требуется одновременно обеспечить несколько характеристик шероховатости, рассматриваемое техническое ограничение представляется в виде нескольких неравенств. Так, для обеспечения при наружном продольном точении заготовки из стали 45 шероховатости Ra и шага

микронсровностсй Sm могут быть использованы для построения технических ограничений зависимости _ s059(7I/2 + y)°'66

(89)

Ra 0,10 г0.29у0.19

S„ = o,81^<^

(90)

где у — передний угол резца.

Выбранные и описанные технические ограничения, отражающие с определенной степенью точности физический процесс резания в совокупности с критерием оптимальности, образуют математическую модель процесса резания.

При определении режимов резания широкое применение для двух элементов п и s имеется метод линейного программирования, общая задача которого состоит в определении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих системе ограничений в виде линейных равенств и неравенств, обеспечивающих наибольшее или наименьшее значение некоторой линейной функции - критерия оптимальности.

Таким образом, первая задача, которая должна быть решена,-это приведение всех технических ограничений и оценочной функции к линейному виду. В качестве примера рассмотрим приведение к линейному виду первого технического ограничения методом логарифмирования:

31ХС DZv-1k

Inn + yv Ins v ---^). (91)

TmtXvzUv Br'

Введя обозначения lnn = x1, ln( 100s) = x2, 318C

ln( xvv) = b, и подставив их в неравенство (91), получим

x, + yvx2

Аналогично могут быть получены в линейном виде зависимости для других технических ограничений.

Анализ различных критериев оптимальности показывает, что при оптимизации по двум элементам режимов резания п и s без изменения глубины резания, стойкости инструмента и других технических факторов эти оценочные функции при введении ряда упрощений выражаются через п и s достаточно просто. Так, для минимальной себестоимости операции можно записать Con =c(/(ns), где с( - постоянная величина, не зависящая от режимов резания п и s.

Из этого выражения видно, что значение оценочной функции является наименьшим, когда произведение ns максимально. В этом случае при приведении оценочной функции к линейному виду можно получить

f0 = (Х| + х2) —> шах . (93)

Преобразование технических ограничений к линейному виду и представление их в виде системы неравенств в совокупности с оценочной функцией даст математическую модель процесса резания металлов x, + yvx2l nzXi + yzx,2 x, + x2 > b3

x, >b4 x,5 x2>b6 x27 nzxi + yzx28 nzxi + yzx29 nyXi + yyx210 t1sxi + ysx211 k2x, + k3x2 < b12

(94)

Применительно к приведенной математической модели определение оптимального режима резания сводится к отысканию среди всевозможных неотрицательных значений х, и х2 системы таких значений xIoirr и х2оггг, при которых линейная функция принимает максимальное значение fOmax.

Математическая модель процесса резания может быть изображена в графическом виде (рис. 52). При этом каждое техническое ограничение представляется граничной прямой, которая определяет полуплоскость, где возможно существование решений системы неравенств. Граничные прямые, пересекаясь, образуют многоугольник ABCDEF, внутри которого любая точка удовлетворяет всем без исключения неравенствам. Поэтому этот многоугольник принято называть многоугольником решений.

Теория линейного программирования показывает, что экстремальное значение оценочной функции (при выпуклом многоугольнике решений) обеспечивается для х, и х2, находящихся в точке, лежащей на одной из граничных прямых или их пересечении.

Поэтому задача отыскания оптимальных значений х10|ТГ и х2опт сводится к последовательному вычислению координат всех возможных точек пересечения граничных прямых и затем определению для них наибольшей суммы

f = (XI + X2)max- (95)

После определения координат х|01П. и х2о1ТГ вычисляют оптимальные значения элементов режима резания по формулам

nom =ехр(х10ИГ); som. =ехр(х2опг)/100. (96)

Графическое изображение математической модели процесса резания

Рис. 52. Графическое изображение математической модели процесса резания

Для автоматизации решения задачи, заданной системой линейных уравнений и неравенств, обычно используется метод полного перебора точек, образующих выпуклый многоугольник возможных решений. Определяются попарно точки пересечения прямых и подставляются координаты этих точек в неравенства системы. Точка, координаты которой удовлетворяют всем без исключения прямым (проверка на совместимость системы уравнений) и одновременно сумма координат которой (Х( + х,), является наибольшей и будет точкой оптимума.

Последовательность решения задачи следующая:

  • 1. Рассматривается пара прямых и проверяется па параллельность.
  • 2. Если прямые параллельны, то рассматривается следующая пара, а если нет, то определяются координаты х, и х2 точки их пересечения.
  • 3. Проверяются знаки координат. Если координаты положительны, то путем подстановки в каждое из неравенств найденных значений х,и х2 определяют, находится ли точка в области возможных решений. Если хотя бы одно из неравенств не удовлетворяется, то эта точка отбрасывается и проводится такой же анализ следующей пары.
  • 4. Если х, и х2 положительны и удовлетворяют всем без исключения неравенствам, то определяется сумма координат t0 = X, + х2 и запоминается в виде некоторого значения А. Все описанные действия выполняются до тех нор, пока не будут рассмотрены все пары прямых.
  • 5. В случае противоречивости исходных данных может оказаться, что области возможных решений нет. Признаком несовместности системы является равенство нулю величины А, которая в противном случае равна сумме координат х, + х2, являющихся решением задачи.
  • 6. Если решение находится на прямой, параллельной прямой оценочной функции, то в качестве решения принимаются координаты той точки, у которой больше координата х2 (т.е. при большем значении подачи).
  • 7. Если система неравенств совместна и найдена точка, сумма координат которой х,+х, является наибольшей, то оптимальная частота вращения п = еХ| и оптимальная подача s = eXl- /100.

Эта же задача может решаться графически. Оценочная функция f0 = xt + x2 изображается прямой, перпендикулярной к вектору максимизации М (рис. 51). Так как направление вектора М есть направление возрастания линейной функции f0, то следует ожидать, что в первой точке касания F с многоугольником решения она примет минимальное значение f()min, а в последней точке С - максимальное значение fOmax. Следовательно, вершина многоугольника решений С является точкой оптимума, а ее координаты хих2С: - оптимальным решением системы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >